Applicazione in $Z_n$

Messaggioda alfiere15 » 13/06/2017, 12:41

Buon pomeriggio! Ho questo esercizio:
Immagine
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Per il punto 1), ho fatto così:
se $[x]_10 = [y]_10 Rightarrow 10 | x-y$, allora : $20 | lambda(x^2 +y^2) = lambda(x+y)(x-y) Rightarrow 2|lambda(x+y)$
Dunque, $2 |lambda or 2|x+y$
Giusto? C'è qualche errore? Come posso togliere la seconda condizione?
Ora, se $2|lambda$, allora $exists a in Z : lambda = 2a$, allora se $20|2a(x+y)(x-y) Rightarrow 10|a(x+y(x-y) Rightarrow 10|a or 10|x+y or 10|x-y$
Come posso procedere?
alfiere15
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Re: Applicazione in $Z_n$

Messaggioda dan95 » 13/06/2017, 13:43

A noi basta sapere quando $2\ | \lambda$ in modo che sia sempre ben definita e concludere $\lambda=2k$ con $k \in \mathbb{Z}$.
"Chi è padrone del proprio respiro, è padrone della propria vita."~ Antico proverbio

"La capacità di scegliere è un dono che la natura fa all'uomo. Scegliere è un dono che l'uomo fa a se stesso." D.B.

"Il genio è semplicemente un uomo con la mente da donna." D. B.
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Re: Applicazione in $Z_n$

Messaggioda alfiere15 » 13/06/2017, 14:42

A noi hanno detto che, una volta trovato che $2|lambda$, dobbiamo tornare "indietro", cioè mostrare che tale condizione è anche sufficiente...
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Re: Applicazione in $Z_n$

Messaggioda dan95 » 13/06/2017, 15:21

Infatti errore mio...

Poiché $10\ |\ x-y$ vuol dire che $x-y$ è pari questo implica che $x,y$ o sono entrambi pari o sono entrambi dispari in tutte i due i casi $x+y$ è pari e quindi $20| (x-y)(x+y)$ indipendentemente da $\lambda$. Questo implica che vale per ogni $\lambda \ in ZZ$
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Re: Applicazione in $Z_n$

Messaggioda alfiere15 » 13/06/2017, 16:25

Quindi, la risposta finale è che l'applicazione è definita per ogni $lambda in Z$?
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Re: Applicazione in $Z_n$

Messaggioda dan95 » 13/06/2017, 16:54

Yes
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Re: Applicazione in $Z_n$

Messaggioda alfiere15 » 13/06/2017, 17:00

Ma la condizione che ho trovato all'inizio, $2|lambda$ dovrebbe essere necessaria... o no? Altrimenti non funzionerebbe l'implicazione necessaria...
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Re: Applicazione in $Z_n$

Messaggioda dan95 » 13/06/2017, 17:08

È sufficiente non necessaria

Se $2\ |\ \lambda$ allora è ben definita, tuttavia se non è divisibile per 2 è ben definita lo stesso come abbiamo visto.
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Re: Applicazione in $Z_n$

Messaggioda alfiere15 » 13/06/2017, 17:18

Ok! Benissimo! Avevo sbagliato l'implicazione...
Ora, come si può procedere per il punto 2?
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Re: Applicazione in $Z_n$

Messaggioda dan95 » 13/06/2017, 17:46

Devi verificare che
$\psi_{\lambda}(x)+\psi_{\lambda}(x')=[\lambda x^2]_{20}+[\lambda x'^2]_{20}=\psi_{\lambda}(x+x')=[\lambda (x+x')^2]_{20}$
Ovvero che $20\ |\ \lambda [(x+x')^2-x^2-x'^2]=2\lambda x x'$ da cui $10\ |\ \lambda$ e questa è una condizione sufficiente ma anche necessaria infatti se 10 non divide $\lambda$ possiamo trovare $x,x'$ tali da non verificare l'uguaglianza.
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