Commutatività di intersezione e quoziente tra congruenze?

[aPlanetaryCitizen]

Salve, stavo dimostrando un lemma di algebra universale e mi tornava comodo sapere se:
Data un'algebra A e $ {\alpha_{i}, i\in I}, \beta $ congruenze di A è vero che:
$ \cap(\alpha_{i}/\beta)=(\cap\alpha_{i})/\beta $ ?? dove $ \alpha/\beta = {(a/\beta, b/\beta) \in (A/\beta)^{2} : (a,b) \in \alpha} $
Credo proprio di no, ma insomma...

Se poi voleste aiutarmi ancor di più, il fatto precedente mi potrebbe servire per questo:
Sia U un'algebra libera in K su un insieme X e $ \Theta_{U}(K)=\cap{\theta_{i} \in Con(U) : U/\theta_{i} \in S(K)} $
Voglio dimostrare che $ \cap (\theta_{i}/\(Theta_{U}(K)))=\Delta_{U/(\Theta_{U}(K))} $
Dove quest'ultima è la congruenza minima di $ U/\(Theta_{U}(K)) $
Idee?

Ho fatto vari tentativi ma niente di papabile.. Potrebbero comunque essere tutte banalità (/ca**ate), ma vabbè

Scusate per il simbolo di "fratto" anziché lo slash, "/" per il quoziente, ma non ho trovato un sistema di mantenerlo tale.
Scusate anche se non posto miei tentativi o idee ma a sto giro non so proprio dove rifarmi

Grazie in anticipo!

[killing_buddha]

Che cosa è $S(K)$? E cosa è $K$, tra l'altro?

[aPlanetaryCitizen]

mi pareva scontato, K è una classe di algebre simili, di cui fa parte U ed S è uno degli "operatori di classe", cioè
A appartiene ad S(K) se è isomorfa ad una sottalgebra di un qualche membro di K
ovvero S(K) è la classe di tutte le immagini isomorfe di sottalgebre di membri di K

Hai presente tipo che HSP(K)=V(K)?
O il teorema HSP...