Ideali massimali in $ZZ[X]$

[sami95]

Buongiorno a tutti,

ho un dubbio riguardo gli ideali massimali in $ZZ[X]$.
Il mio problema è dimostrare che $I=(p(x))$ con $p(x)=x^2-3$ non è ideale massimale in $ZZ[X]$ e trovare un ideale massimale che lo contiene. Ora, poiché $ZZ[X]$ non è dominio a ideali principali principali, non so come procedere

Ho pensato di dimostrare che $(ZZ[X])/((p(x)))$ non è campo, ma non so se è la strada più semplice..

Qualcuno sa gentilmente aiutarmi?

[dan95]

$(x^2-3) \sub (x^2-1,2) \sub ZZ[x]$ infatti se $(x^2-1,2)=(x^2-3)$ allora esiste $p(x) \in ZZ[x]$ tale che $2=(x^2-3)p(x)$ chiaramente falso dato che $2$ è un polinomio di grado 0 mentre il secondo membro un polinomio di grado $\geq 2$

[sami95]

Innanzitutto ti ringrazio tanto per la risposta.
Ma come hai scelto $(x^2-1,2)$ ? e come dimostro che quest'ultimo è massimale?

[killing_buddha]

Innanzitutto ti ringrazio tanto per la risposta.
Ma come hai scelto $(x^2-1,2)$ ? e come dimostro che quest'ultimo è massimale?

Mica devi dimostrare che $(x^2-1,2)$ è massimale. Basta che contenga il tuo $I$ e che sia un ideale proprio: entrambe le cose sono vere.

[sami95]

Per lo scopo di dimostrare che I non è massimale sì, ma poi l'esercizio chiede proprio di trovare un ideale massimale che contiene I..

[dan95]

Ah non avevo letto bene
Dimostra che $(x,3)$ è massimale e lo contiene.
Hint: Dimostra che $ZZ[x] //(x,3)$ è un campo

[sami95]

Credo di esserci arrivata, gentilissimo

[dan95]

Se non vedo non credo...

[sami95]

eheh neanche io ho così poca fiducia in me

Ho dimostrato che l'applicazione $\varphi : f(x)inZZ[X] rarr a0inZZ3$ (a0 riduzione modulo 3 del termine noto di f(x)) è isomorfismo suriettivo e $Ker(\varphi)=(x,3)$ e dunque per il primo teorema di isomorfismo di anelli $(ZZ[X])/(x,3)$ è campo e dunque $(x,3)$ è massimale.

Spero sia giusto.

[killing_buddha]

Con un po' di fatica in più si può anche dimostrare che un ideale in \(\mathbb{Z}[X]\) è massimale se e solo se è della forma $(p, Q(X))$, dove $Q(X)$ è un polinomio irriducibile quando ridotto mod $p$, e $p$ è un primo di $\mathbb{Z}$.