Dimostrazione teorema cinese del resto
Inviato: 24/06/2017, 07:58Buongiorno,
sto studiandola dimostrazione del teorema cinese del resto su alcune dispense universitarie ma l'ho trovata difficile in alcuni punti. Ho anche cercato sul web ma le dimostrazioni sono più di una di quello che visto e la mia non l'ho ancora trovata. In ogni caso, procede in questo modo:
TEOREMA
Il sistema di congruenze
$ { ( x -= a mod n ),( x -= b mod m ):} $
ha soluzione se e solo se $ (n, m) | b - a $. Se c è una soluzione del sistema, allora gli elementi di $ [c]_[[n,m] $ sono tutte e sole le soluzioni del sistema (i.e. le soluzioni sono tutte e sole della forma $ c+ k[n,m] $ al variare di $ k in mathbb(Z) $
DIMOSTRAZIONE
Se c è una soluzione del sistema allora esistiono $ h, k in mathbb(Z) $ tali che $ c = a + hn = b + km $ e quindi $ a - b = km - hn $, e fin qua tutto ok. Ma allora dal fatto che $ (n, m) | n $ e $ (n, m) | m $ si ha che $ (n, m) | a - b $. Quest'ultimo punto non l'ho capito. Potreste spiegarmelo per favore?
sto studiandola dimostrazione del teorema cinese del resto su alcune dispense universitarie ma l'ho trovata difficile in alcuni punti. Ho anche cercato sul web ma le dimostrazioni sono più di una di quello che visto e la mia non l'ho ancora trovata. In ogni caso, procede in questo modo:
TEOREMA
Il sistema di congruenze
$ { ( x -= a mod n ),( x -= b mod m ):} $
ha soluzione se e solo se $ (n, m) | b - a $. Se c è una soluzione del sistema, allora gli elementi di $ [c]_[[n,m] $ sono tutte e sole le soluzioni del sistema (i.e. le soluzioni sono tutte e sole della forma $ c+ k[n,m] $ al variare di $ k in mathbb(Z) $
DIMOSTRAZIONE
Se c è una soluzione del sistema allora esistiono $ h, k in mathbb(Z) $ tali che $ c = a + hn = b + km $ e quindi $ a - b = km - hn $, e fin qua tutto ok. Ma allora dal fatto che $ (n, m) | n $ e $ (n, m) | m $ si ha che $ (n, m) | a - b $. Quest'ultimo punto non l'ho capito. Potreste spiegarmelo per favore?