da Valerio Capraro » 29/03/2004, 17:00
scriviamo tutte le coppie ordiante di NxN così:
(0,0) (1,0) (2,0)....
(0,1) (1,1) (2,1)....
(0,2) (1,3) (2,2)....
....................
...................
sia d(0)={(0,0)}, d(1)={(0,1),(1,0)}...d(k)={(k,0),(k-1,1)..(1,k-1),(0,k)}
consideriamo la successione {d(k)}: è sicuramente numerabile, perchè è una successione; d'altra parte, comunque presa una coppia del prodotto cartesiano NxN, sta lì dentro; in concluzione NxN è numerabile.
in generale è numerabile N^k. infatti c'è un teorema che dice che se A è isomosrfo a B e C è isomorfo a D, allora AxC è isomorfo a BxD.
poniamo A,C,D=N e B=NxN otteniamo che N^3 è isomorfo a N^2 che a sua volta, abbiamo mostrato, è isomorfo a N, da cui, per transitività la tesi. ragionando analogamente si dimostra che, comunque preso k naturale, N^k è numerabile.
ciao, ubermensch