1. Di solito il simbolo \( \mapsto \) si usa per indicare il modo in cui gli elementi del dominio di una certa applicazione sono associati a quelli del codominio della medesima applicazione e non per raccordare il dominio ed il codominio stessi. E.g.: data l'applicazione \( f \) di dominio \( \mathbb{N} \) e codominio \( \mathbb{N} \) che manda \( x \) in \( 2x \), di solito si scrive \( f \colon \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \) t.c. \( x \mapsto 2x \).
2. Qui
algibro ha scritto:Il punto è capire se una volta strutturato un dato insieme \( \mathbb{A} \) mediante... in maniera "similare" rispetto a quando è possibile verificare l'iniettività di una funzione mostrando che è strettamente monotona.
in realtà la questione è secondo me mal posta: ho infatti l'impressione che tu creda che l'ordinamento tra numeri ed una generica relazione d'ordine siano due concetti distinti e separati e che il concetto di monotònia riguardi solo l'usuale ordinamento tra numeri, da cui la necessità di porre la domanda in questi termini, laddove, in verità, il concetto di monotònia di un'applicazione non fa riferimento solo all'ordinamento usuale tra numeri ma fa riferimento ad una qualunque relazione d'ordine.
Segnatamente dati due insiemi \( S \) e \( T \) non vuoti, siano \( \preceq \) una relazione d'ordine su \( S \) e \( \preceq ' \) una relazione d'ordine su \( T \) e siano \( \prec \) e \( \prec ' \) le corrispondenti relazioni d'ordine stretto; un'applicazione \( f \colon S \to T \) si dice:
• crescente (rispetto agli ordinamenti \( \prec \) e \( \prec ' \)) se \( \forall x_{1}, x_{2} \in S, x_{1} \prec x_{2} \implies f(x_{1}) \preceq ' f(x_{2}) \);
• strettamente crescente (rispetto agli ordinamenti \( \prec \) e \( \prec ' \)) se \( \forall x_{1}, x_{2} \in S, x_{1} \prec x_{2} \implies f(x_{1}) \prec ' f(x_{2}) \);
• decrescente (rispetto agli ordinamenti \( \prec \) e \( \prec ' \)) se \( \forall x_{1}, x_{2} \in S, x_{1} \prec x_{2} \implies f(x_{2}) \preceq ' f(x_{1}) \);
• strettamente decrescente (rispetto agli ordinamenti \( \prec \) e \( \prec ' \)) se \( \forall x_{1}, x_{2} \in S, x_{1} \prec x_{2} \implies f(x_{2}) \preceq ' f(x_{1}) \);
Quando l'applicazione è crescente/decrescente si dice che essa è monotòna, quando è strettamente crescente/decrescente si dice che essa è strettamente monotòna.
Come vedi non serve né che la relazione d'ordine sia la medesima su dominio e codominio né che la relazione d'ordine sia l'usuale ordinamento tra numeri.
Per le applicazioni strettamente monotòne vale il seguente risultato: dati i due insiemi ordinati \( S \) e \( T \) di cui sopra con \( \preceq \) ordinamento totale, se \( f \colon S \to T \) è strettamente monotòna, allora essa è anche iniettiva. Se \( \preceq \) non è totale, allora non è possibile dedurre l'iniettività dalla stretta monotònia: nel tuo esempio ti è andata bene perché il tuo insieme \( A \) è totalmente ordinato dalla relazione di divisibilità. Se però consideri per esempio l'insieme \( A ' = \{ 2, 3, 4, 8, 16 \} \) accade che la tua \( f \) prolungata su \( A ' \) con l'assegnazione \( 3 \mapsto 6 \) è strettamente monotòna pur non essendo iniettiva: infatti la divisibilità non ti permette di confrontare \( 3 \) con alcuno degli altri elementi di \( A ' \), sicché qualunque sia l'elemento \( x \in A ' \setminus \{ 3 \} \), indicato con \( \preceq \) l'ordinamento indotto dalla divisibilità, è falsa sia \( 3 \preceq x \) sia \( x \preceq 3 \), sicché è vacuamente vera (per falsità dell'antecedente) l'implicazione che compare nella definizione della stretta monotònia.