chiarimenti in merito a relazioni ed applicazioni
Inviato: 21/07/2017, 17:37
Necessito di alcuni chiarimenti, indubbiamente stupidi, ma che mi servono per inquadrare alcuni concetti.
Siano $\mathbb{A}$, $\mathbb{B}$ due insiemi non vuoti e sia $f:\mathbb{A} \mapsto \mathbb{B}$ una funzione.
Mi chiedo, potendo stabilire una stessa relazione d'ordine $R$ in entrambe gli insiemi, posso sempre verificare l'iniettività di $f$ provando che $\forall a,a' \in \mathbb{A}, aRa' \Rightarrow f(a)Rf(a')$ ?
Ad esempio:
$\mathbb{A}={2,4,8,16}$
$f:\mathbb{A} \mapsto \mathbb{N}, f(a)=2a+a$
Stabilisco nell'insieme dei naturali $\mathbb{N}$ la relazione di divisibilità, $aRb \Leftrightarrow a|b$.
$R$ è una relazione d'ordine:
$\forall a \in \mathbb{N}, a|a$;
$\forall a,b \in \mathbb{N}, a|b \wedge b|a \Rightarrow a=b$;
$\forall a,b,c \in \mathbb{N}, a|b \wedge b|c \Rightarrow a|c$;
La stessa $R$ è una relazione d'ordine in $\mathbb{A} \subset \mathbb{N}$
dunque, posso verificare l'iniettività provando che:
$\forall a, a' \in mathbb{A}, a|a' \Rightarrow f(a)|f(a')$ ?
Il punto è capire se una volta strutturato un dato insieme $\mathbb{A}$ mediante una relazione d'ordine $R$ questa strutturazione possa permettermi di verificare se un'applicazione $f:\mathbb{A} \mapsto \mathbb{B}$ è ad esempio iniettiva, in maniera "similare" rispetto a quando è possibile verificare l'iniettività di una funzione mostrando che è strettamente monotona.
Ancora, rimanendo su questo caso generico, due elementi del dominio sono sempre confrontabili mediante una relazione d'ordine o sono confrontabili solo laddove stabiliamo una funzione iniettiva sull'immagine in cui vale la stessa relazione d'ordine ?
Siano $\mathbb{A}$, $\mathbb{B}$ due insiemi non vuoti e sia $f:\mathbb{A} \mapsto \mathbb{B}$ una funzione.
Mi chiedo, potendo stabilire una stessa relazione d'ordine $R$ in entrambe gli insiemi, posso sempre verificare l'iniettività di $f$ provando che $\forall a,a' \in \mathbb{A}, aRa' \Rightarrow f(a)Rf(a')$ ?
Ad esempio:
$\mathbb{A}={2,4,8,16}$
$f:\mathbb{A} \mapsto \mathbb{N}, f(a)=2a+a$
Stabilisco nell'insieme dei naturali $\mathbb{N}$ la relazione di divisibilità, $aRb \Leftrightarrow a|b$.
$R$ è una relazione d'ordine:
$\forall a \in \mathbb{N}, a|a$;
$\forall a,b \in \mathbb{N}, a|b \wedge b|a \Rightarrow a=b$;
$\forall a,b,c \in \mathbb{N}, a|b \wedge b|c \Rightarrow a|c$;
La stessa $R$ è una relazione d'ordine in $\mathbb{A} \subset \mathbb{N}$
dunque, posso verificare l'iniettività provando che:
$\forall a, a' \in mathbb{A}, a|a' \Rightarrow f(a)|f(a')$ ?
Il punto è capire se una volta strutturato un dato insieme $\mathbb{A}$ mediante una relazione d'ordine $R$ questa strutturazione possa permettermi di verificare se un'applicazione $f:\mathbb{A} \mapsto \mathbb{B}$ è ad esempio iniettiva, in maniera "similare" rispetto a quando è possibile verificare l'iniettività di una funzione mostrando che è strettamente monotona.
Ancora, rimanendo su questo caso generico, due elementi del dominio sono sempre confrontabili mediante una relazione d'ordine o sono confrontabili solo laddove stabiliamo una funzione iniettiva sull'immagine in cui vale la stessa relazione d'ordine ?