luca69 ha scritto:Credo che la via sia "costruire" una relazione tra gli elementi dell'insieme a partire dalle proprietà caratteristiche dei sottoinsiemi disgiunti della partizione, e dimostrare che tale relazione è di equivalenza.
Provo a sviluppare un po' l'idea che ho scritto qua sopra.
Dato un insieme di indici $I$ e un insieme $A$, un'arbitraria partizione di $A$ è una collezione di sottoinsiemi $A_(\alphainI)$, a due a due disgiunti e tale che $A=uuu_(\alphainI)A_\alpha$,
ovvero -equivalentemente- una collezione di proprietà caratteristiche (proposizioni) $P_(\alphainI)$ tale che $AAainA,EE!\alphainI$ tale che $P_(\alpha)(a)$. Se ho ben compreso il tuo dubbio, l'aspetto importante da cogliere è che, per quanto arbitraria "si possa dare" una partizione, essa è pur sempre definibile mediante proprietà caratteristiche dei sottoinsiemi che la compongono: anche un insieme "esotico" (finito) come ${1,\gamma, 'biella','Biella'}$ si può pur sempre definire -al limite- come "insieme di verità" della proprietà caratteristica $P(a)=$<<$a$ è $1$, oppure $\gamma$, oppure $'biella'$, oppure $'Biella'$>>.
A questo punto definiamo la relazione tra elementi di $A$ nel modo seguente: $R(a,b)⇔EE!\alphainI$ tale che $P_(\alpha)(a)^^P_(\alpha)(b)$: questo significa semplicemente che $a$ e $b$ sono in relazione se e solo se soddisfano la proprietà caratteristica dello stesso sottoinsieme della partizione, che è dire se e solo se appartengono allo stesso sottoinsieme della partizione. Aver espresso la relazione in tal modo, però, ovvero mediante le proprietà caratteristiche dei sottoinsiemi della partizione, dovrebbe far capire che ogni proprietà di $R$ dimostrabile con questa rappresentazione vale per ogni arbitraria partizione (perché appunto ogni arbitraria partizione "è" la sua collezione di proprietà caratteristiche). Ora mostriamo che la proprietà di $R$ "essere di equivalenza"
è dimostrabile con questa rappresentazione. $AAa,b,cinA$, si ha:
i) $EE!\alphainI$ tale che $P_(\alpha)(a)⇔EE!\alphainI$ tale che $P_(\alpha)(a)^^P_(\alpha)(a)⇔R(a,a)$ (
riflessiva);
ii) $R(a,b)⇔EE!\alphainI$ tale che $P_(\alpha)(a)^^P_(\alpha)(b)⇔EE!\alphainI$ tale che $P_(\alpha)(b)^^P_(\alpha)(a)⇔R(b,a)$ (
simmetrica);
iii) $R(a,b)^^R(b,c)⇔EE!\alpha,\betainI$ tale che $P_(\alpha)(a)^^P_(\alpha)(b)^^P_(\beta)(b)^^P_(\beta)(c)⇔EE!\alphainI$ tale che $P_(\alpha)(a)^^P_(\alpha)(b)^^P_(\alpha)(b)^^P_(\alpha)(c)$ (in quanto $P_(\alpha)(b)^^P_(\beta)(b)$ è falsa se non per $\beta=\alpha$)$⇔EE!\alphainI$ tale che $P_(\alpha)(a)^^P_(\alpha)(b)^^P_(\alpha)(c)⇒EE!\alphainI$ tale che $P_(\alpha)(a)^^P_(\alpha)(c)⇔R(a,c)$ (
transitiva).