$\pi_0$ non è un gruppo, ma un pensiero frequente

[killing_buddha]

Dimostrate che un insieme puntato con due elementi $x,y$, che chiamo $S^0$ per simpatia, ha una e una sola operazione coassociativa $s :S^0 \to S^0\vee S^0$ click, ovvero tale che il quadrato
\[
\begin{CD}
S^0 @>s>> S^0 \vee S^0 \\
@VsVV @VV1\vee sV \\
S^0 \vee S^0 @>>s\vee 1> S^0 \vee S^0 \vee S^0
\end{CD}
\] commuti, ma che questa operazione non può essere counitale, ovvero non può accadere che
\[
\begin{CD}
S^0 \vee S^0 @>\varepsilon \vee 1>> S^0 @<1\vee\varepsilon<< S^0 \vee S^0 \\
@| @VVsV @| \\
S^0 \vee S^0 @= S^0\vee S^0 @= S^0\vee S^0
\end{CD}
\] commuti anche lui, se $\varepsilon$ è la mappa terminale \(S^0\to *\).