otta96 ha scritto:Puoi spiegarlo meglio? Temo di non averlo capito...
Dici a me? Te lo dimostro:
3. $\Rightarrow$ 2. perché se riesci a scrivere $-1 = \sum x_i^2$ allora $\sum x_i^2 +1 = 0$ è una somma di quadrati. Viceversa, se $0=\sum x_i^2$ è una somma di quadrati di cui almeno uno non zero (condizione che mi è rimasta nelle dita mentre commentavo: appena finsco di scrivere qui edito), diciamo $x_k$, allora $-1 = \sum (x_i/x_k)^2$. E' poi classico che se $F$ è ordinato, i quadrati devono essere positivi.
Dimostrare che se valgono 2. o 3. allora $F$ può essere ordinato è più difficile (serve il lemma di Zorn per partizionare $F$ in tre parti di cui dichiarerai una essere i positivi —non hai scelta su chi deve essere questa classe, perché $1>0$ sta in una sola di loro—, mostrando poi che questo ordine è una congruenza ed è totale).