\[
|K(I)| \overset{(1)}\le
\left| \left(\bigoplus_{i\in I} K\right)\times \left(\bigoplus_{i\in I} K\right) \right| \overset{(2)}=
\left| \bigoplus_{i\in I} K \right| \overset{(3)}\le
|K|\cdot |I| \overset{(4)}=
\max\{|K|, |I|\}
\]
Ora, (1) è vera perché $K(I)$ è definito come un quoziente delle coppie \(K[I]\times (K[I] \setminus \{0\})\), ed è in principio solo una disuguaglianza; il motivo per cui \(|K[I]|=|\oplus_I K|\) è evidente per come è definito l'anello dei polinomi; (2) è vera perché quando $X$ è un insieme infinito $|X^2|=|X|$; (3) è vera perché in una categoria di moduli la somma diretta è contenuta nel prodotto diretto, e per il prodotto $\prod_I K$ vale ovviamente che $|\prod_I K|=|I|\cdot |K|$.
Dovresti dimostrare anche che \(\max\{|K|, |I|\}\le |K(I)|\), del resto questo è evidente (esiste una funzione iniettiva $I \to K(I)$ che manda $i$ nella variabile $X_i$).
