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criteri di divisibilità
da Ramo82 » 29/03/2004, 19:44
a tutti noi dalle elementari è noto il famoso criterio d divisibilità per 3: ma lo sapete dimostrare???
- Ramo82
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da karl » 29/03/2004, 20:40
Poniamo b=10 e rappresentiamo il numero
generico a nella base b:
a=R0+R1*b+R2*b^2+....+Rn*b^n
(Da questo momento in poi il segno "= " sta
per "congruente").
Abbiamo:
b=1 mod (b-1)
Elevando alla generica potenza p:
b^p=1 mod (b-1)
e moltiplicando per Rp:
Rp*b^p=Rp mod (b-1)
Facendo variare p da 0 ad n e sommando
membro a membro tutte le congruenze cos' ottenute:
R0+R1*b+R2*b^2+...+Rn*b^n=R0+R1+R2+...+Rn mod(b-1)
ovvero:
a=R0+R1+R2+...+Rn mod (b-1)
Pertanto un numero (rappresentato in base 10) e'
divisibile per 9 se lo e' la somma delle sue cifre.
Osservamo ora che 3 e' un divisore di 9 e quindi
e' pure:
a=R0+R1+R2+...+Rn mod (3)
e da cio ' segue che quanto detto per la divisibilita'
per 9 puo' dirsi anche per la divisibilita' per 3.
N.B. Cio' che precede vale anche se b e' un base generica
ed il numero "a" viene rappresentato in questa base.
karl.
generico a nella base b:
a=R0+R1*b+R2*b^2+....+Rn*b^n
(Da questo momento in poi il segno "= " sta
per "congruente").
Abbiamo:
b=1 mod (b-1)
Elevando alla generica potenza p:
b^p=1 mod (b-1)
e moltiplicando per Rp:
Rp*b^p=Rp mod (b-1)
Facendo variare p da 0 ad n e sommando
membro a membro tutte le congruenze cos' ottenute:
R0+R1*b+R2*b^2+...+Rn*b^n=R0+R1+R2+...+Rn mod(b-1)
ovvero:
a=R0+R1+R2+...+Rn mod (b-1)
Pertanto un numero (rappresentato in base 10) e'
divisibile per 9 se lo e' la somma delle sue cifre.
Osservamo ora che 3 e' un divisore di 9 e quindi
e' pure:
a=R0+R1+R2+...+Rn mod (3)
e da cio ' segue che quanto detto per la divisibilita'
per 9 puo' dirsi anche per la divisibilita' per 3.
N.B. Cio' che precede vale anche se b e' un base generica
ed il numero "a" viene rappresentato in questa base.
karl.
- karl
da karl » 30/03/2004, 14:10
Per Ramo82.
Se si chiede di rispondere ad un quesito
occorre accettare la risposta ottenuta
(specie se questa e' esatta),senza aspettarsi
che l'interlocutore dia proprio quella che
si ha in mente.
In alternativa si espone la propria e la si
confronta con quelle ricevute, eventualmente
confutandole.
E' esattamente cio' che ha fatto Ubermensch
nel topic sul quoziente ed il resto della divisione.
E' a tutti noto che un problema di matematica
(o di qualunque altra cosa) ha spesso un
numero finito di soluzioni ma raramente esiste
una sola strada per arrivare a queste.
Personalmente conosco perlomeno altri 3 0 4
modi diversi di dimostrare particolari criteri
di divisibilita'.
karl.
Se si chiede di rispondere ad un quesito
occorre accettare la risposta ottenuta
(specie se questa e' esatta),senza aspettarsi
che l'interlocutore dia proprio quella che
si ha in mente.
In alternativa si espone la propria e la si
confronta con quelle ricevute, eventualmente
confutandole.
E' esattamente cio' che ha fatto Ubermensch
nel topic sul quoziente ed il resto della divisione.
E' a tutti noto che un problema di matematica
(o di qualunque altra cosa) ha spesso un
numero finito di soluzioni ma raramente esiste
una sola strada per arrivare a queste.
Personalmente conosco perlomeno altri 3 0 4
modi diversi di dimostrare particolari criteri
di divisibilita'.
karl.
- karl
da Ramo82 » 30/03/2004, 14:36
nn ho detto che nn andava bene la tua dimostrazione ma solo il fatto che secondo me era meglio dimostrarlo indipendentemente dal criterio d divisibilità x 9.. a me sembra che sia tu a nn accettare l'opinione altrui...
- Ramo82
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- Iscritto il: 27/03/2004, 13:22
da karl » 30/03/2004, 15:15
Non e' che non accetto la tua opinione:il fatto
e' che questa non la vedo proprio, a meno di
non considerare tale un semplice<b>"si poteva fare
altrimenti"</b>.Posta la tua dimostrazione ed io saro'
ben lieto di studiarla:sono su questo forum anche e
soprattutto per imparare.
Saluti da karl.
e' che questa non la vedo proprio, a meno di
non considerare tale un semplice<b>"si poteva fare
altrimenti"</b>.Posta la tua dimostrazione ed io saro'
ben lieto di studiarla:sono su questo forum anche e
soprattutto per imparare.
Saluti da karl.
- karl
da Ramo82 » 30/03/2004, 15:58
probabilmente hai ragione...il mio messaggio era fraintendibile...questo è xchè ovviamente se leggi qlcs nn sai mai con che tono t è stata "detta"..
la mia dimostrazione è molto semplice:
an ... a2 a1 a0 = an*10^n + ... + a2*10^2 + a1*10^1 + a0*10^0
passando alle congruenze
[an ... a2 a1 a0] = [an]*[10^n] + ... + [a2]*[10^2] + [a1]*[10^1] + [a0]*[10^0] (*)
ora 10 è congruo a 1 modulo 3
10*10 è congruo a 1*1=1 modulo 3
10*10*10 idem
....
10^k è congruo a 1 modulo 3 per ogni k naturale
la (*) pertanto diventa
[an ... a2 a1 a0] = [an] + ... + [a2] + [a1] + [a0]
per cui un numero è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è congrua a 0 modulo 3 ossia se la somma delle sue cifre è divisibile per 3
la mia dimostrazione è molto semplice:
an ... a2 a1 a0 = an*10^n + ... + a2*10^2 + a1*10^1 + a0*10^0
passando alle congruenze
[an ... a2 a1 a0] = [an]*[10^n] + ... + [a2]*[10^2] + [a1]*[10^1] + [a0]*[10^0] (*)
ora 10 è congruo a 1 modulo 3
10*10 è congruo a 1*1=1 modulo 3
10*10*10 idem
....
10^k è congruo a 1 modulo 3 per ogni k naturale
la (*) pertanto diventa
[an ... a2 a1 a0] = [an] + ... + [a2] + [a1] + [a0]
per cui un numero è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è congrua a 0 modulo 3 ossia se la somma delle sue cifre è divisibile per 3
- Ramo82
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