Ciao,
mklplo ha scritto:grazie per la risposta.Con $|a|$,intendo il valore assoluto,ma volendo riscrivere il gruppo sarebbe $G={a,-a,a^2,-a^2}$,che è di ordine 4.
Sì ma il valore assoluto in un gruppo in generale NON ha senso, suppongo tu ti stia rifancendo al valore assoluto di un numero reale, che è definito così: $|x| = max{x, -x}$ ma capisci che per fare un massimo ci vuole un ordinamento e in un gruppo tu hai solo un insieme non vuoto $G$ e un'operazione definita su esso con delle determinate proprietà.
E comunque quel gruppo NON è cicliclo perché $a != b$, poi il simbolo $-$ in questo contesto cosa vuol dire? Devi riflettere su quello che scrivi, devi chiederti costantemente se quello che scrivi ha senso oppure no nel contesto in cui stai lavorando.
Per quanto riguarda gli automorfismi,se non sbaglio,sono degli isomorfismi che vanno da $G$ in se stesso.Scusa,che cosa intendi da cosa è determinato?
Corretto.
Consideriamo un gruppo $G$ generato da $a_1, ..., a_k \in G$ e $\varphi: G \to G$ automorfismo. Poiché $G$ è generato da ${a_1, ..., a_k}$ ogni elemento $g \in G$ si scrive come prodotto finito degli $a_1, ... , a_k$ e dei loro inversi, ne segue che se conosci $\varphi(a_1), ..., \varphi(a_k)$ allora conosci il valore di $\varphi$ su un qualsiasi elemento $g \in G$.
Facciamo un esempio: sia $G$ un gruppo ciclico di ordine quattro, diciamo $G = {e, a, a^2, a^3}$(dove $a^2 = a*a$, etc. e $*$ è l'operazione del gruppo), poiché $G$ è ciclico allora esiste almeno un $g \in G$ tale che $G = <g>$, i candidati ad essere generatori di $G$ sono $a$ e $a^3$(verificare che sono entrambi generatori), per semplicità scegliamo $a$ come generatore, cioè $G = <a>$. Consideriamo adesso un automorfismo $\varphi: G \to G$, per quanto detto sopra basta capire chi è $\varphi(a)$ per conoscere l'automorfismo. Bene, la domanda da porsi è: $\varphi(a)$ può essere un qualsiasi elemento di $G$? La risposta è no: un generatore può essere mandato solo in un altro generatore dello stesso ordine poiché gli automorfismi mantengono l'ordine degli elementi, quindi non posso mandare $a$ in $a^2$ ad esempio, e devono essere surgettivi(quindi non posso permettermi di non scegliere un generatore). Quindi le scelte sono $a$ e $a^3$, per cui gli automorfismi di $G$ sono: $id: G \to G$ che manda $a$ in $a$ e $\varphi : G \to G$ che manda $a$ in $a^3$, osserva che l'insieme ${id, \varphi}$ dotato della composizione fra funzioni è un gruppo.
Torniamo al problema: una coppia di generatori di $G$ sono $a$ e $b$, detto $\varphi: G \to G$, quali scelte ho per $\varphi(a)$ e $\varphi(b)$?
In generale trovare gli automorfismi di un gruppo $G$(abeliano o non abeliano) non è un problema banale che si risolve facilmente come sopra, perché bisogna fare alcune considerazioni in più che per adesso ti risparmio.
Ciao!