cardinalità degli algebrici

[Misia]

Ho bisogno :come dimostrare che i nmeri algebrici hanno la cardinalità del numerabile,cioè sono tanti quanti i naturali?

[marcellus zebra]

Ciao,

Cosa sono i numeri algebrici?

Marc.

[lupo grigio]

cara Misia
se per 'numeri algebrici' intendi i <i>numeri razionali</i>, ovvero numeri che possono essere scritti nella forma a=p/q, con p e q <i>interi primi tra loro</i>, allora è possibile dimostrare che <i>l'insieme dei numeri razionali è numerabile</i>, ossia <i>essi possono essere posti in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali</i>.

Per rendercene conto supponiamo di costruire tutti i numeri a=p/q, con p e q primi tra loro e con p+q=n per n che va da 2 in poi.

per n=2 1/1

per n=3 1/2,2/1

per n=4 1/3, 3/1

per n=5 1/4,2/3,3/2,4/1

...

Fatto questo li possiamo scrivere in maniera ordinata nel seguente modo...

1, 1/2, 2, 1/3, 3, 1/4, 2/3, 3/2, 4,...

...ottenendo l'insieme ordinato dei numeri razionali positivi.

Allo stesso modo possiamo ottenere l'insieme ordinato dei numeri razionali negativi...

-1,-1/2,-2,-1/3,-3,-1/4,-2/3,-3/2,-4,...

Fatto ciò possiamo far coincidere lo zero con il numero 1, i numeri razionali positivi con gli interi pari e i razionali negativi con gli interi dispari a cominciare da 3, ottenendo così...

0,1,-1,1/2,-1/2,2,-2,1/3,-1/3,3,-3,...

cordiali saluti!...

lupo grigio

[Misia]

Ciao a tutti
i numeri algebrici sono quei numeri che sono soluzione di un'equazione algebrica,cioè a coefficienti in Q.
Sia io sia i miei compagni siamo disperati per questa dimostrazione!!!
Grazie per l'interessamento

[marcellus zebra]

...mmm... come sospettavo (ma non ne erro troppo sicuro).

La cosa non è difficile, è vicina (per certi versi) alla dimostrazione dell'impossibilità della mitica quadratura del cerchio.
Poichè una equazione ha al massimo un numero finito di soluzioni si ha che la cardinalità cercata è uguale al più alla cardinalità dell'insieme dei polinomi razionali. Ma i polinomi razionali hanno la cardinalità del numerabile (questo è facile, più o meno "unione numerabile di numerabili").

Ciao, Marc

[CA]

Ma non mi sembra difficilissima.

I numeri algebrici sono le radici di un'euqauzione algebrica....
Dal teorema fondamentale dell'algebra sappiamo che una equazione algebrica a n radici....
Ogni equazione algebrica è individuata dai suoi coefficienti....
Quindi....

E' più difficile scriverla giù per bene che capirne il significato.

[Mistral]

Ho bisogno :come dimostrare che i nmeri algebrici hanno la cardinalità del numerabile,cioè sono tanti quanti i naturali?

Devi usare le seguenti proprietà:

1)l'unione numerabile di insiemi numerabili è a sua volta numerabile.

2)un sottoinsieme infinito di un insieme numerabile è a sua volta numerabile.

3) Il prodotto cartesiano finito di insieme numerabili è numerabile.

A questo punto ti suggerisco un modo fra molti che si possono escogitare (ci sono scorciatoie ma dovrei aggiungere concetti aggiuntivi):

a)Ogni numero algebrico identifica un polinomio di grado minimo in Q[X] di cui è radice. Per cui puoi fare corrispondere ad ogni algebrico il suo polinomio minimo che è irriducibile, la corrispondenza non è iniettiva ma in questo caso non serve (vedi b e c)
b)L'insieme dei polinomi irriducibili è infinito si pensi al sottoinsieme {X-a con a razionale}.
c)L'insieme dei numeri algebrici è infinito si pensi al sottoinsieme di algebrici {2^(1/n):n intero positivo}.
d)L'insieme Q[X] è numerabile, basta usare la proprità (1) notando che Q[X] e l'unione dei sottoinsiemi costituiti dai polinomi di grado fissato. I sottoinsiemi dei polinomi di grado fissato sono numerabili dato che sono in corrispondenza con Z^n e vale 3).

Saluti

Mistral