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Nel gruppo $(Z^*7,x)$
posto $a=2$
Non capisco come $a^-1=4$

Con $ a^(-1) $ si intende quell'elemento $ [n] $ che moltiplicato per $ [2] $ da l'unità che è $ [1] $, cioè tale che $ 2n-= _7 1 $ ovvero $ 2n-1=7h $ . Il primo che si ottiene, per $ h=1 $ , è proprio $ 4 $ .

Tutto chiaro. All'inizio pensavo altra cosa. Grazie

Posto qui perché mi pare una buona occasione per avere qualche chiarimento.
Ho un quesito su un gruppo ciclico che mi lascia perplesso perché credo manchi qualche dato, oppure che mi stia sfuggendo qualcosa, vi spiego subito.

Dato un gruppo ciclico \(\displaystyle (G, \cdot) \) di ordine 14:
a) determinare i generatori e i sottogruppi;
b) Provare che l'applicazione \(\displaystyle f:G\rightarrow G \) definita da \(\displaystyle f(x)=x^2 \) è un endomorfismo di \(\displaystyle G \) e determinare \(\displaystyle Kerf \).

Dato che nel gruppo ciclico è definita l'operazione binaria del prodotto immagino che, dato un elemento generatore contenuto nel gruppo, tutti gli altri elementi non siano altro che delle potenze del generatore. In altre parole \(\displaystyle G=\{g^0, g^1, g^2, g^3...g^{13}\} \), o almeno credo, non sono sicuro che arrivi a 13 l'esponente.

Detto ciò non so se per risolvere i due punti del quesito io abbia bisogno di sapere esattamente quali sono questi elementi contenuti nel gruppo ciclico. Credo di aver bisogno di conoscerli per evincere quali numeri potrebbero generarli e quali numeri potrebbero avere come immagine l'elemento 0 (per determinare il nucleo).

Per quanto riguarda i sottogruppi non banali so che dovrebbero essere 2, in quanto i divisori di 14 sono 2 e 7; quindi i sottogruppi dovrebbero essere: \(\displaystyle H_1 \) di ordine 2; \(\displaystyle H_2 \) di ordine 7. Tuttavia non conoscendo i numeri contenuti in \(\displaystyle G \) non so come determinare questi sottogruppi.

Fatemi capire che strada imboccare che mi sono bloccato in maniera terribile.

I gruppi ciclici di ordine uguale sono tutti isomorfi fra di loro, quindi per esempio il tuo $G$ è isomorfo a $ZZ_14:=ZZ/(14ZZ)$.
Ti consiglio inoltre di denotare gli elementi di $G$, per comodità, in questo modo $G={g^1,..,g^14}$ dove $g$ è un generatore di $G$.
$g^14$ è l'elemento neutro, per definizione di gruppo ciclico di ordine $14$ generato da $g$.
$H_2={g^7,g^14}$ è il tuo sottogruppo di ordine 2
$H_7={g^2,g^4,g^6,g^8,g^10,g^12,g^14}$ è quello di ordine 7

I generatori di $G$, sono tutti gli elementi che non appartengono nè ad $H_2$ nè ad $H_7$.
Quindi $g^1,g^3,g^5,g^9,g^11,g^13$

Per l'ultimo esercizio, dopo aver dimostrato che $x^2$ è un omomorfismo, puoi utilizzare il fatto che $kerf$ e $Imf$ è un sottogruppo

Vediamo se ho fatto bene:
- l'applicazione \(\displaystyle f:G\rightarrow G \) è un endomorfismo in quanto dominio e codominio sono entrambi il gruppo ciclico \(\displaystyle G \). Ciò è provato dal fatto che vale la legge secondo cui \(\displaystyle f(g^n * g^m)=f(g^n)*f(g^m) \);
- per definizione il nucleo di un'applicazione lineare tra gruppi è costituito da tutti gli elementi che hanno come immagine l'elemento neutro del gruppo di arrivo, in questo caso 1 essendo \(\displaystyle * \) l'operazione definita nel gruppo \(\displaystyle G \), dunque \(\displaystyle Kerf=\{g^7\} \) in quanto \(\displaystyle f(g^7)=g^{14} \) che è l'elemento neutro.

Devi dimostrare quella relazione che hai scritto, per il resto va beme