Congruenza modulo N in Z

[Ishima]

Salve,non mi sono chiari alcuni concetti scritti durante le lezioni di matematica discreta. Si intenda per $ Z_n $ la partizione di $ Z$ rispetto alla relazione $ -= _n $ (congruenza modulo $n$). Perchè:
$ Z_2={[0]_-=2[1]_-= 2} $
$ Z_3={[0]_-=3[1]_-= 3[2]_-= 3} $
Qualcuno riuscirebbe a darmi una spiegazione (generale) chiara e semplice? Perchè $ Z_2 $ non contiene anch'essa la classe di equivalenza $ [2]_-= 2 $ ?
Grazie in anticipo.

[killing_buddha]

Perche' (nelle tue bizzarre notazioni, che credo manchino di inserire "2" e "3" a pedice di \(\equiv\))
\[ [0]_{\equiv 2} = [2]_{\equiv 2}\]
e contare due volte un elemento di un insieme fa brutto.

[Ishima]

Questo non spiega il perchè non sia contenuta la classe di equivalenza (con relazione di congruenza modulo 2) nella partizione $Z_2$.
Ps: non so come inserire il numero accanto all'operatore congruenza nel pedice,inoltre queste non sono mie notazioni,ma appunti presi da qualcun'altro.

[algibro]

Questo non spiega il perchè non sia contenuta la classe di equivalenza (con relazione di congruenza modulo 2) nella partizione $Z_2$.
Ps: non so come inserire il numero accanto all'operatore congruenza nel pedice,inoltre queste non sono mie notazioni,ma appunti presi da qualcun'altro.

Mi serve come ripasso quindi lo scrivo in modo esaustivo.

$a \equiv b \ (mod m) \Leftrightarrow m|a-b \ Leftrightarrow a-b=mk$ per un opportuno $k \in \mathbb{Z}$
Ma ciò significa che $a=mk+b$ ossia $a$ è congruo a $b$ se quest'ultimo è il resto della divisione di $a$ per $m$.
Ora se $a,a' \in \mathbb{Z}$ hanno lo stesso resto nella divisione per $m$ allora:
$a=mk+b$
$a'=mk'+b$
$a-a'=mk+b-mk'-b=m(k-k') \Rightarrow a=m(k-k')+a'$ cioè $a \equiv a' \ (mod m)$
Dunque due interi $a,a'$ sono congrui modulo $m$ se hanno lo stesso resto nella divisione per $m$

In conclusione la classe di equivalenza $a_m$ è composta da ${(mk+a):k \in \mathbb{Z}}$.

Nel tuo caso specifico hai che:
$0_2= {0, \pm 2, \pm 4, \pm 6...}$
$2_2= {0, \pm 2, \pm 4, \pm 6...}$

Cioè le due classi coincidono, gli stessi interi sono congrui sia a $0$ che a $2$ modulo $m$. Pertanto se ne indica una sola