Esercizio sulle azioni di gruppi

[ludovica_97]

Buongiorno,
ho il seguente esercizio:
"Sia $n ≥ 2$. Sia $H ⊂ Sn$ un sottogruppo transitivo (l’azione di H su {1, 2, . . . , n} ha un’unica orbita), dimostrare che H contiene un elemento senza punti fissi" come suggerimento mi e' stato detto di usare la formula di Burnside e allora ho ragionato in questo modo
La formula di Burnside mi dice che $|orb(H)|=1/|H| sum_(g∈H) (fix(g))$
Ho posto quindi $|H|=t$
inoltre so che essendo transitivo $|orb(H)|=1$
quindi che $sum_(g∈H) (fix(g))=t$

Ora per quando riguarda l'identita'( che so appartenere ad H per definizione di sottogruppo) avro' che $|fix(g)|=n$
A questo punto come faccio a determinare la cardinalita' del resto del punti fissi sapendo che $fix(g)={x∈X|gx=x}$??
Qualcuno potrebbe chiarirmi bene il concetto di punto fisso e di come si calcoli in generale perche' forse e' questo quello che mi serve per risolvere l'esercizio

[Martino]

Ciao,

non c'è una formula generale che conta i punti fissi. Inoltre non capisco perché scrivi $|fix(g)|=n$, l'unico elemento con $n$ punti fissi è l'identità (ricorda che $H$ sta dentro $S_n$).

Prova a ragionare così: supponi per assurdo che ogni elemento $h in H$ abbia punti fissi. Questo significa che per ogni $h in H$ hai $|fix(h)| >= 1$. D'altra parte è ovvio che $|fix(1)|=n$ (l'identità fissa tutto). Usando la formula di Burnside (che hai applicato correttamente) cosa deduci?

[ludovica_97]

Deduco che per la formula di Burnside $|orb(x)|>= (n+t-1)/t$ (sempre ponendo $|H|=t$) ma dato che $|orb(x)|=1$ per ipotesi ho un assurdo...? corretto?

[Martino]

Sì esatto.

[ludovica_97]

Sì esatto.

grazie mille