Rappresentazione di gruppi

[ludovica_97]

Buonasera,
parlando di rappresentazioni di gruppi il mio professore ha fatto il seguente esempio.
$S_3=G$ agisce su $R^3$
prendo $σ(123)$ e quindi ho
$σ(e_1)=e_2$
$σ(e_2)=e_3$
$σ(e_3)=e_1$

quindi la rappresentazione e' $σ -> $(0 0 1
1 0 0
0 1 0 ) (dovrebbe essere una matrice)

Sapreste spiegarmi cosa fa in questo esercizio?? Cioe' da dove parte per trovarsi una rappresentazione??

[Martino]

L'idea è che il gruppo simmetrico $S_n$ agisce sui vettori della base canonica permutandoli nel modo naturale, in altre parole tramite la permutazione $sigma$ il vettore canonico $e_i$ viene mandato in $e_{sigma(i)}$. Tu hai scritto il caso $sigma = (123)$. Tale permutazione degli $e_i$ fornisce un'unica applicazione lineare (quella che estende la restrizione alla base canonica), che e' quindi data dalla matrice che hai scritto (nella colonna $i$ c'e' il vettore $e_{sigma(i)}$, cioe' l'immagine di $e_i$ tramite $sigma$). Per capire la scrittura matriciale devi aver fatto almeno un corso di algebra lineare.

[ludovica_97]

Si, infatti la scrittura matriciale e' chiara. Il mio problema era appunto il perche' avesse applicato $σ(123)$ ai vettori della base canonica pero' ora ho capito. Quindi deduco che avrei potuto anche applicare $σ(12)$ e avrei ottenuto ugualmente una rappresentazione.. giusto?
Inoltre se io non avessi avuto il gruppo simmetrico ma quello diedrale o un altro gruppo qualsiasi c'e' una regola generale da seguire per costruire rappresentazioni?

[Martino]

Quindi deduco che avrei potuto anche applicare $σ(12)$ e avrei ottenuto ugualmente una rappresentazione.. giusto?

Non esattamente. Occhio: scrivere $sigma(12)$ non ha senso. Quello che vuoi dire probabilmente è $sigma = (12)$.

Quella che hai descritto sopra è una rappresentazione di $S_3$. Per ogni $sigma in S_3$ hai una matrice $A(sigma)$ (quella che hai scritto nel caso di $sigma = (123)$, prova per esempio a calcolare $A(sigma)$ quando $sigma=(12)$, otterrai un'altra matrice, non un'altra rappresentazione) e la funzione $S_3 to GL(CC^3)$ che manda $sigma$ in $A(sigma)$ è una rappresentazione di $S_3$.

Ripeto: la funzione $S_3 to GL(CC^3)$ che manda $sigma$ in $A(sigma)$ è una rappresentazione di $S_3$.

In altre parole la rappresentazione di $S_3$ è la regola che associa ad ogni $sigma$ la matrice $A(sigma)$. Cioè è una funzione che va da $S_3$ al gruppo delle matrici invertibili $3 xx 3$ a coefficienti complessi.

Inoltre se io non avessi avuto il gruppo simmetrico ma quello diedrale o un altro gruppo qualsiasi c'e' una regola generale da seguire per costruire rappresentazioni?

No. Occhio, quella che hai scritto è una rappresentazione di $S_3$, non è l'unica rappresentazione di $S_3$. Ci sono infinite possibili rappresentazioni di $S_3$, quella che hai scritto è solo una di queste. Se hai un altro gruppo $G$ per costruire una rappresentazione devi costruire un omomorfismo $G to GL(V)$ dove $V$ è uno spazio vettoriale (in genere su $CC$). Il problema di costruire e capire le rappresentazioni è l'obiettivo del corso che (deduco) stai seguendo.