Anello quoziente dei polinomi

Messaggioda zariski » 09/10/2017, 17:51

Ciao a tutti,
sto seguendo un corso di algebra sulla Teoria di Galois e non riesco a venire a capo di una questione, come dispensa usiamo Fields and Galois Theory di J.S. Milne, liberamente consultabile qui: http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/FT.pdf

Ho dei problemi a pagina 15, nel paragrafo "Construction of some extension fields", l'obiettivo di quel paragrafo viene riassunto alla fine dello stesso e consiste nel mostrare che, dato F campo, per ogni polinomio monico irriducibile $f(X)$ di grado $m$ su $F[X]$ si ha che $F[x] := \frac{F[X]}{(f(X))$ è un campo di grado $m$ su $F$1

Nel paragrafo viene detto semplicemente di scrivere $x$ al posto del laterale $X + (f(X))$2 e questo credo di averlo digerito, quello che invece non ho digerito è perché usi il simbolo $F[x]$ per indicare quell'anello quoziente. Se si tratta di un simbolo scelto arbitrariamente per indicare quell'anello quoziente ok, ma io ho il sospetto che usi quel simbolo perché in effetti è un anello di polinomi su questa nuova indeterminata $x$, ma se così fosse non dovrei avere $F[x]:=F[X+(f(X))]$? E perché sarebbe vero che $F[X+(f(X))] = \frac{F[X]}{(f(X))}$?

So di avere un po' di confusione in testa, spero che qualcuno riesca a dissolvermelo senza traumi, grazie mille :D

Note

  1. Notare che $X \ne x$, non ho trovato particolarmente gradevole questa scelta
  2. Che poi cosa significa scrivere qualcosa al posto di qualcos'altro formalmente?
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Re: Anello quoziente dei polinomi

Messaggioda Martino » 09/10/2017, 18:04

No $F[x]$ non è un anello di polinomi, è un'estensione, per esempio se $F=QQ$ e $f(X)=X^2-2$ allora $F[x]$ è (isomorfo a) $QQ[sqrt(2)] = \{a+b sqrt(2)\ :\ a,b in QQ\}$.
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Re: Anello quoziente dei polinomi

Messaggioda zariski » 09/10/2017, 18:43

Meno male! :-D
Chiarissimo l'esempio (avevo già svolto un esercizio con gli stessi identici campi), ma allora mi chiedo perché si usa $F[x]$ per indicare un campo (e non un anello come suggerirebbero le quadre) che non è di polinomi (come suggerirebbe la x) e non è nemmeno qualcosa generato da qualcos'altro.

Inoltre, a questo punto ne approfitto della discussione per chiarirmi bene un'altra cosa: cosa si intende per scrivere $x$ al posto del laterale $X+(f(X))$? Significa che oltre alla solita proiezione da $F[X]$ a $\frac{F[X]}{(f(X))}$ ho un omomorfismo da $\frac{F[X]}{(f(X))}$ a non so bene che cosa (forse $F[x]$ come anello dei polinomi questa volta?) che manda il laterale $X+(f(X))$ in $x$?
Forse sto inconsciamente cercando di far entrare nel discorso questo $F[x]$ come anello dei polinomi perché mi ero abituato all'idea che dovesse centrare in qualche modo.
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Re: Anello quoziente dei polinomi

Messaggioda Martino » 09/10/2017, 18:53

Chiamiamo $A=F[X]//(f(X))$. Chiamiamo $a=X+(f(X)) in A$ (è meglio evitare $x$). Allora $A$ è generato (come anello) da $F$ e da $a$ quindi è convenzione comune indicare $A$ con $F[a]$. Cioè $A=F[a]$ significa che $F$ e $a$ generano $A$ come anello.

Ora ci sono differenze importanti tra $F[X]$ e $F[a]$. Per esempio $F[X]$ come spazio vettoriale su $F$ ha dimensione infinita (una base è $1,X,X^2,X^3,...$) mentre $A$ ha dimensione finita, uguale al grado del polinomio minimo di $a$, e detto $n$ tale grado una base di $F[a]$ è $1,a,a^2,...,a^{n-1}$ (per esempio nell'esempio sopra una base è $1,sqrt(2)$).
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Re: Anello quoziente dei polinomi

Messaggioda killing_buddha » 09/10/2017, 19:34

Se n'è parlato qui.
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Re: Anello quoziente dei polinomi

Messaggioda zariski » 09/10/2017, 19:59

Martino ha scritto:Chiamiamo $A=F[X]//(f(X))$. Chiamiamo $a=X+(f(X)) in A$ (è meglio evitare $x$). Allora $A$ è generato (come anello) da $F$ e da $a$ quindi è convenzione comune indicare $A$ con $F[a]$. Cioè $A=F[a]$ significa che $F$ e $a$ generano $A$ come anello.


Ma quindi è solo una convenzione, giusto? $F[a]$ non è davvero l'anello generato da $F$ e da $a$? Anche perché se lo fosse significherebbe che sia il più piccolo anello dentro $E( \supset F)$ contenenente $F$ e ${a}$ ma ciò non avrebbe senso visto che $a$ è un laterale (quindi qualcosa che vive in un anello quoziente).

killing_buddha ha scritto:Se n'è parlato qui.

Grazie mille, adesso me lo leggo per bene
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Re: Anello quoziente dei polinomi

Messaggioda Martino » 09/10/2017, 20:13

zariski ha scritto:Ma quindi è solo una convenzione, giusto? $F[a]$ non è davvero l'anello generato da $F$ e da $a$?
Non è solo una convenzione, $F[a]$ è davvero l'anello generato da $F$ e da $a$.

Sia $A$ un anello (commutativo, unitario) e sia $a in A$. Sia $F$ un sottoanello di $A$. Indichiamo (definizione) con $F[a]$ il sottoanello di $A$ generato da $F$ e da $a$.

Esercizio: $F[a]$ è uguale a $\{P(a)\ :\ P(X) in F[X]\}$. Ovvero gli elementi di $F[a]$ sono quelli della forma $t_0+t_1a+t_2a^2+...t_ma^m$ dove i $t_i$ sono elementi di $F$ e $m$ è un numero naturale.

Adesso mettiamoci nel caso in esame, $A=F[X]//(f(X))$ e $a=X+(f(X)) in A$. Qui identifichiamo $F$ con il sottoinsieme di $A$ dato da $\{t+(f(X))\ :\ t in F\}$. Allora è chiaro che $A=F[a]$, perché ogni elemento di $A$ ha la forma $P(X)+(f(X)) = P(X+(f(X))) = P(a)$. In altre parole nel tuo caso l'anello $A$ (che è un anello quoziente, ma cosa importa?) è il più piccolo anello contenente $F$ e $a$.

Anche perché se lo fosse significherebbe che sia il più piccolo anello dentro $E( \supset F)$ contenenente $F$ e ${a}$ ma ciò non avrebbe senso visto che $a$ è un laterale (quindi qualcosa che vive in un anello quoziente).
Certo che ha senso. Hai un elemento di un anello, e puoi domandarti quale anello egli genera. Quell'elemento è una classe laterale ma cosa c'entra? Nel quoziente $F[X]//(f(X))$ puoi sommare e moltiplicare le classi laterali. Dimenticati cosa gli elementi sono e concentrati sulle loro proprietà astratte: sei in un anello (anello quoziente, ma cosa importa?), quindi puoi costruire sottoanelli, sommare e moltiplicare elementi.
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Re: Anello quoziente dei polinomi

Messaggioda zariski » 16/10/2017, 19:15

Grazie mille della spiegazione, scusa se ci ho messo un po' a rispondere ma purtroppo non ho avuto tempo di riscrivere la risposta (avevo scritto una risposta in cui chiedevo qualcosa e svolgevo l'esercizio che davi ma ho inavvertitamente chiuso la scheda).
Comunque nessun problema, ho rivisto le dispense e ora mi è tutto più chiaro.
Grazie mille ancora!
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