Ciao a tutti,
sto seguendo un corso di algebra sulla Teoria di Galois e non riesco a venire a capo di una questione, come dispensa usiamo Fields and Galois Theory di J.S. Milne, liberamente consultabile qui: http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/FT.pdf
Ho dei problemi a pagina 15, nel paragrafo "Construction of some extension fields", l'obiettivo di quel paragrafo viene riassunto alla fine dello stesso e consiste nel mostrare che, dato F campo, per ogni polinomio monico irriducibile $f(X)$ di grado $m$ su $F[X]$ si ha che $F[x] := \frac{F[X]}{(f(X))$ è un campo di grado $m$ su $F$1
Nel paragrafo viene detto semplicemente di scrivere $x$ al posto del laterale $X + (f(X))$2 e questo credo di averlo digerito, quello che invece non ho digerito è perché usi il simbolo $F[x]$ per indicare quell'anello quoziente. Se si tratta di un simbolo scelto arbitrariamente per indicare quell'anello quoziente ok, ma io ho il sospetto che usi quel simbolo perché in effetti è un anello di polinomi su questa nuova indeterminata $x$, ma se così fosse non dovrei avere $F[x]:=F[X+(f(X))]$? E perché sarebbe vero che $F[X+(f(X))] = \frac{F[X]}{(f(X))}$?
So di avere un po' di confusione in testa, spero che qualcuno riesca a dissolvermelo senza traumi, grazie mille