Sottogruppo di A(S)

[milos144]

Buonasera,
sia $S$ un insieme e $A(S)$ l'insieme delle corrispondenze biunivoche di $S$ su se stesso che é un gruppo rispetto alla composizione di corrispondenze.
Se $x_0 in S$ sia $H(x_0) = {phi  in A(S ) | x_0phi=x_0}$ 

Ebbene $H(x_0)$ é un sottogruppo
Io ho provato con $S_3$ è ho visto che questo sottogruppo é formato da 2 funzioni: la funzione identitá e un'altra funzione che manda l'elemento  $x_0$ in se stesso. Si tratta di un sottogruppo abeliano

Prima domanda : se avessi considerato per esempio $S(5)$ ...il sottogruppo $H(x_0)$
avrebbe avuto sempre 2 funzioni?
Seconda domanda: se definissi $H(x_1)$ sempre allo stesso modo ,$H(x_1)nnH(x_0)$ non da
la funzione identitá?
Grazie

[killing_buddha]

1: no, le permutazioni di $n$ lettere che fissano una lettera formano un sottogruppo isomorfo a $Sym(n-1)$; per $n=3$ ottieni $Sym(2)$, ma per $n$ più alti...

2: no, ripetendo il ragionamento di prima ottieni $Sym(n-2)$.

[milos144]

Quindi se considero Il gruppo $S(3)$,
$H(x1)∩H(x0)= Sym(3-2)$ cioé la funzione identitá
Grazie.