Stabilire se la relazione è di equivalenza.

[Ishima]

Salve,ho svolto questo esercizio e sono qui per chiedervi semplicemente una conferma.

Ho seguito questo ragionamento:
RIFLESSIVA:x è maggiore o uguale ad x,quindi OK.
SIMMETRICA: se x fosse 25 ed y fosse 4,avremmo che x è maggiore/uguale ad y ma non viceversa,quindi non è simmetrica.
TRANSITIVA: un eventuale valore J,se inferiore ad y che a sua volta è inferiore ad x,sarà anch'esso inferiore ad x.Cioè x>=y , y>=J dunque x>=J.
La relazione non è di equivalenza.
È corretto?

[algibro]

$R$ non è una relazione di equivalenza.
Ma l'assenza della proprietà simmetrica l'avrei dimostrata diversamente, senza esempi numerici:

$R$ è simmetrica se e solo se $\forall x,y \in \mathbb{N}, \ xRy \Rightarrow yRx$.
Se $xRy \Rightarrow x \geq y \Rightarrow x>y \vee x=y$
Quindi se $x=y \Rightarrow yRx$ ma se $x>y \Rightarrow y<x \Rightarrow y \cancel{R} x$

[Ishima]

Grazie tante, le altre dimostrazioni vanno bene?

[algibro]

Per la transitiva, avrei scritto più semplicemente che:
$\forall x,y,z \in \mathbb{N}$ se $x \geq y$ e $y \geq z \Rightarrow x \geq z \Rightarrow xRz$

[Ishima]

Grazie mille,gentilissimo!

[garnak.olegovitc]

@Ishima,
sicuramente la relazione \(\leq\) in \(\Bbb{N}\) è definita assiomaticamente¹, come anche \(\Bbb{N}\), quindi per definizione è riflessiva, antisimmetrica e transitiva in \(\Bbb{N}\), e di conseguenza anche il secondo insieme \(R\) lo è in \(\Bbb{N}\), certo è che \(R\) non è simmetrica in \(\Bbb{N}\) perché \(\exists x,y \in \Bbb{N}: (x,y) \in R \wedge (y,x) \notin R\), o meglio perché \(\exists x,y \in \Bbb{N}: (x,y) \in \leq \wedge (y,x) \notin \leq\), basta un esempio in effetti e in questi casi funziona sempre, ergo \(R\) non é di equivalenza (anche se è riflessiva e transitiva, manca la simmetria ovvero)

Per la transitiva, avrei scritto più semplicemente che:
$ \forall x,y,z \in \mathbb{N} $ se $ x \geq y $ e $ y \geq z \Rightarrow x \geq z \Rightarrow xRz $

cosí ricalchi solamente la def. di transitivitá in questo caso, ma non dimostri o spieghi perché lo è!

Ma l'assenza della proprietà simmetrica l'avrei dimostrata diversamente, senza esempi numerici:

$R$ è simmetrica se e solo se $\forall x,y \in \mathbb{N}, \ xRy \Rightarrow yRx$.
Se $xRy \Rightarrow x \geq y \Rightarrow x>y \vee x=y$
Quindi se $x=y \Rightarrow yRx$ ma se $x>y \Rightarrow y<x \Rightarrow y \cancel{R} x$

naive ci siamo, o almeno si capisce cosa vuoi eppure mi sembra non chiaro, tuttavia non capisco se definisci \(\leq\) o \(\geq\) o \(<\) o \(>\) e come? Di solito hai assiomaticamente la relazione \(\leq\) in \(\Bbb{N}\) e da questa devi fare derivare tutte le altre (anche se basta la sola appartenenza a livello puramente insiemistico)..

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Note

1. o no? ↑

[algibro]

Ok, provo a fare meglio nella speranza di aver colto il punto. (il seguito è da intendersi come se non avessi scritto nulla prima).

Definisco la relazione maggiore o uguale che indico con $\geq$:
In $\mathbb{N}$, "$x$ maggiore o uguale a $y$" significa che $\exists z \in \mathbb{N}: x=y+z$

$R={(x,y) \in \mathbb{N}^2:x\geqy}$
Allora $(3,2) \in R, (4,5) \notin R$.
$R$ è una relazione:
i) riflessiva, $\forall x \in \mathbb{N}, x \geq x$, ossia $\exists 0 \in \mathbb{N}: x=x+0$;
ii) non simmetrica, e qui è sufficiente il controesempio sopra della coppia $(4,5) \in \mathbb{N}^2$, non esiste nessun naturale $z$ tale che $4=5+z$;
iii) transitiva, dobbiamo verificare che $\forall x,y,z \in \mathbb{N}$ se $x \geq y \wedge y \geq z \Rightarrow x \geq z$.
Se $x \geq y \Rightarrow \exists n \in \mathbb{N}: x=y+n$
Se $y \geq z \Rightarrow \exists m \in \mathbb{N}: y=z+m$
Allora $x=z+(m+n)$ con $(m+n) \in \mathbb{N} \Rightarrow x \geq z$ e $xRz$. La relazione è transitiva.

[Ishima]

Ok, provo a fare meglio nella speranza di aver colto il punto. (il seguito è da intendersi come se non avessi scritto nulla prima).

Definisco la relazione maggiore o uguale che indico con $\geq$:
In $\mathbb{N}$, "$x$ maggiore o uguale a $y$" significa che $\exists z \in \mathbb{N}: x=y+z$

$R={(x,y) \in \mathbb{N}^2:x\geqy}$
Allora $(3,2) \in R, (4,5) \notin R$.
$R$ è una relazione:
i) riflessiva, $\forall x \in \mathbb{N}, x \geq x$, ossia $\exists 0 \in \mathbb{N}: x=x+0$;
ii) non simmetrica, e qui è sufficiente il controesempio sopra della coppia $(4,5) \in \mathbb{N}^2$, non esiste nessun naturale $z$ tale che $4=5+z$;
iii) transitiva, dobbiamo verificare che $\forall x,y,z \in \mathbb{N}$ se $x \geq y \wedge y \geq z \Rightarrow x \geq z$.
Se $x \geq y \Rightarrow \exists n \in \mathbb{N}: x=y+n$
Se $y \geq z \Rightarrow \exists m \in \mathbb{N}: y=z+m$
Allora $x=z+(m+n)$ con $(m+n) \in \mathbb{N} \Rightarrow x \geq z$ e $xRz$. La relazione è transitiva.

Ma il significato di \( N^2 \) sta ad indicare un insieme composto da tutti i quadrati? In tal caso,perchè (3,2) appartiene ad \( N^2 \)?