Esercizio su corrispondenza tra insiemi

[galles90]

Buonasera,
ho un dubbio su un esercizio, sul quale bisogna provare se la corrispondenza è un'applicazione, come segue:

Sia \(\displaystyle G= (x,y) \in \mathbb{Z^2} : x^2=y^2 \), provare che \(\displaystyle \mathbb{Z^2},G \) non è un applicazione.

Procedo nel seguente modo, in primis do la definizione di applicazione inerente all'esercizio:

\(\displaystyle * \) Una corrispondenza \(\displaystyle f=(\mathbb{Z^2},G ) \) tra \(\displaystyle \mathbb{Z} \) e \(\displaystyle \mathbb{Z} \) si dice applicazione di \(\displaystyle \mathbb{Z} \) in \(\displaystyle \mathbb{Z} \) se per ogni elemento \(\displaystyle x \) di \(\displaystyle \mathbb{Z} \) esiste uno o un solo elemento di \(\displaystyle y \) di \(\displaystyle \mathbb{Z} \) tale che \(\displaystyle xfy \), cioè se per ogni \(\displaystyle x \in \mathbb{Z} \) il grafico \(\displaystyle G \) di \(\displaystyle f \) contiene una e una sola coppia di prima coordinata \(\displaystyle x \).

Ora dovrei far vedere che presi due elementi \(\displaystyle x,x' \in \mathbb{Z} : x\ne x' \to (xfy, x'fy') \), ma ciò non è possibile.
Ad esempio presi \(\displaystyle x=1 \) e \(\displaystyle x=-1 \) si ha:
\(\displaystyle (1)^2=(1)^2 \)
\(\displaystyle (-1)^2=(1)^2 \)

Grazie per le risposte.

[garnak.olegovitc]

Buonasera,
ho un dubbio su un esercizio, sul quale bisogna provare se la corrispondenza è un'applicazione, come segue:

Sia \(\displaystyle G= (x,y) \in \mathbb{Z^2} : x^2=y^2 \), provare che \(\displaystyle \mathbb{Z^2},G \) non è un applicazione.

giá ti dice che non lo è ma devi provarlo ergo basta un esempio, basta trovare un caso che non soddisfa la definizione insomma...

Procedo nel seguente modo, in primis do la definizione di applicazione inerente all'esercizio:

\(\displaystyle * \) Una corrispondenza \(\displaystyle f=(\mathbb{Z^2},G ) \) tra \(\displaystyle \mathbb{Z} \) e \(\displaystyle \mathbb{Z} \) si dice applicazione di \(\displaystyle \mathbb{Z} \) in \(\displaystyle \mathbb{Z} \) se per ogni elemento \(\displaystyle x \) di \(\displaystyle \mathbb{Z} \) esiste uno o un solo elemento di \(\displaystyle y \) di \(\displaystyle \mathbb{Z} \) tale che \(\displaystyle xfy \), cioè se per ogni \(\displaystyle x \in \mathbb{Z} \) il grafico \(\displaystyle G \) di \(\displaystyle f \) contiene una e una sola coppia di prima coordinata \(\displaystyle x \).

scusa ma devo proprio rabbrividire... brrrrr... la definizione è semplice, ovvero \(f\) deve soddisfare la proprietá/assioma di univocitá: $$\forall x,y,z:(x,y)\in f \wedge (x,z)\in f \to y=z$$ \(f\), il mio e il tuo, deve essere sempre un insieme, trovo brutto bypassare la def. formale con l'uso di questo \(G\), per grafico, calato dal cielo...(se vuoi continuare ad usare questo \(G\), di gesú, considera il mio \(f\) il tuo \(G\))

Ora dovrei far vedere che presi due elementi \(\displaystyle x,x' \in \mathbb{Z} : x\ne x' \to (xfy, x'fy') \), ma ciò non è possibile.
Ad esempio presi \(\displaystyle x=1 \) e \(\displaystyle x=-1 \) si ha:
\(\displaystyle (1)^2=(1)^2 \)
\(\displaystyle (-1)^2=(1)^2 \)

Grazie per le risposte.

non capisco cosa fai, perché \(x\neq x'\)?, visto che giá ti dice che non è funzione e devi provarlo allora devi provare la negazione della univocitá da me prima scritta ovvero provare la sua negazione o provare che è falsa ovvero provare che $$\exists x,y,z : (x,y)\in f \wedge (x,z)\in f\wedge y\neq z$$ e salta subito all'occhio che è vero/provato per \(x=y=2\) e \(z=-2\)... e tanti altri (ma ne basta almeno uno)!

[galles90]

La definizione che hai riportato è molto più intuitiva di quella che ho scritto io !!
Prima quando ho scritto \(\displaystyle x\ne x' \) volevo dire che presi due elementi distinti si hanno due immagini uguali, e quindi bastava per provare che non era funzione, è assurda come teoria !! Basta pensare alla funzione : PARABOLA.
Forse proprio qua mi sono confuso

[galles90]

Ora se prendo un altro esercizio simile....scelgo \(\displaystyle f \) per denotare il grafico

\(\displaystyle f=(x,y) \in \mathbb{N^2} : x=3y \) provare che non è un'applicazione.

Per verificare che non è un'applicazione, devo far un esempio.

Scelgo \(\displaystyle x=1 \) ne segue che l'unico valore \(\displaystyle y \) il quale verifica la relazione \(\displaystyle x=3y \) è \(\displaystyle y=\tfrac{1}{3} \), ma \(\displaystyle y \) non appartiene ad \(\displaystyle \mathbb{N} \). Quindi non è un'applicazione.

[garnak.olegovitc]

Ora se prendo un altro esercizio simile....scelgo \(\displaystyle f \) per denotare il grafico

\(\displaystyle f=(x,y) \in \mathbb{N^2} : x=3y \) provare che non è un'applicazione.

Per verificare che non è un'applicazione, devo far un esempio.

Scelgo \(\displaystyle x=1 \) ne segue che l'unico valore \(\displaystyle y \) il quale verifica la relazione \(\displaystyle x=3y \) è \(\displaystyle y=\tfrac{1}{3} \), ma \(\displaystyle y \) non appartiene ad \(\displaystyle \mathbb{N} \). Quindi non è un'applicazione.

continuo a non capire cosa fai, se la mia def., piú formale, ti sembra piú intuitiva dimostri tuttavia che non la sai usare, prendi \((x,y)\in f \ni (x,z)\) allora \(3y=3z\), da \(x=3y\) e \(x=3z\), e siccome \(\Bbb{N}\) è un semigruppo rispetto alla moltiplicazione allora vale la legge di cancellazione ergo \(y=z\) perció la proprietá di univocitá è dimostrata allora \(f\) è funzione invece!!

Devi amalgare le definizioni con le tue condizioni e vedere/fare le giuste conclusioni!

[galles90]

Grazie per le risposte

Sull'eserciziario dice che non è un'applicazione
comunque se facciamo un esempio pratico, tipo
\(\displaystyle x=4 \) che valore di \(\displaystyle y \) ci dovrebbe andare, seguendo la tua teoria.

[garnak.olegovitc]

Grazie per le risposte

Sull'eserciziario dice che non è un'applicazione
comunque se facciamo un esempio pratico, tipo
\(\displaystyle x=4 \) che valore di \(\displaystyle y \) ci dovrebbe andare, seguendo la tua teoria.

ma non puoi associare cosí, non devi seguire la mia teoria ma capire capire e capire.. Devi pensare di prendere tutte quelle coppie ordinate \((x,y)\in (\Bbb{N} \times \Bbb{N})\) tali che \(x=3y\) quindi certamente avremo e lo scrivo in modo molto naive $$f=\{(0,0),(3,1),(6,2),(9,3),(12,4),(15,5),(18,6),...\}$$ e come vedi \(x\) è \(3\) volte \(y\) ed sia \(x\) che \(y\) sono elementi di \(\Bbb{N}\) (molto da scuola secondaria cosí spiegato). Non devi pensare che tutte le coppie del prodotto cartesiano devono stare in \(f\), una funzione è prima di tutto una relazione ed una relazione è un sottoinsieme di un qualsiasi prodotto cartesiano tra insiemi..

ps=se provi a fare lo stesso ragionamento ed esplicitare naive il tuo \(G\) della funzione precedente, noterai che \(G\) contiene due coppie ordinate che non verificano la def. di funzione, ma non vedrai tutte le coppie ordinate \((\Bbb{Z} \times \Bbb{Z})\) e se ci pensi un attimo, anche nel caso di non funzioni, a cosa è il tuo grafico in un piano cartesiano è anche ovvio capirlo e intuitivamente.. con tutta onestá, mi sembra la sezione meno adatta per questo tipo di spiegazioni !!

[Martino]

Garnak secondo me stai fraintendendo la domanda, quello che galles90 vuole dire è che l'insieme delle coppie $(3y,y)$ non è una funzione e questo è chiaro perché per esempio come diceva $x=4$ non si può esprimere come $3y$. In altre parole sta pensando a $f$ come $y=f(x)$.

[garnak.olegovitc]

@Martino, ok.. capisco.. era chiaro.. cioé, \(f\) è una funzione ma non certo, e l'ho esplicitato anche, una funziona da \(\Bbb{N}\) a \(\Bbb{N}\) (il \(\operatorname{dom}(f)\neq \Bbb{N}\)). Ok, avevo dimenticato la def. sua che usa di funzione:

Buonasera,
\( \displaystyle * \) Una corrispondenza \( \displaystyle f=(\mathbb{Z^2},G ) \) tra \( \displaystyle \mathbb{Z} \) e \( \displaystyle \mathbb{Z} \) si dice applicazione di \( \displaystyle \mathbb{Z} \) in \( \displaystyle \mathbb{Z} \) se per ogni elemento \( \displaystyle x \) di \( \displaystyle \mathbb{Z} \) esiste uno o un solo elemento di \( \displaystyle y \) di \( \displaystyle \mathbb{Z} \) tale che \( \displaystyle xfy \), cioè se per ogni \( \displaystyle x \in \mathbb{Z} \) il grafico \( \displaystyle G \) di \( \displaystyle f \) contiene una e una sola coppia di prima coordinata \( \displaystyle x \).

la quale racchiude, mi indirizzo a @galles90, tre fatti formalmente, usando il mio formalismo con l´insieme \(f\) e due altri insieme \(A\) e \(B\) nota¹, ovvero \(f\) è funziona da \(A\) a \(B\), e si indica tale fatto con \(f: A \to B\), se:

- \(f\) è relazione (ovvero per definizione di relazione: \(\forall x \in f: \exists y,z: x=(y,z)\))
- \(\forall x,y,z:(x,y)\in f \wedge (x,z)\in f \to y=z\) (proprietá di univocitá)
- \(\operatorname{dom}(f)=A \wedge \operatorname{cod}(f)\subseteq B\) (la parte che avevo tralasciato per il tuo esercizio, pardon)

concludendo, ringrazio @Martino per la precisazione, non è una funziona da \(\Bbb{N}\) a \(\Bbb{N}\) (ma, ribadisco e scusate se saró testardo, è una funzione² )

ps @galles90=medesime osservazioni avevo tralasciato anche per qui ma banalmente non ci piove, spero sei dello stesso parere, che non essendo funzione per come intendo io allora non puó essere funzione per come la intendi tu...

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Note

1. sono tutti insiemi presi in modo generale ↑
2. anche se solo in senso puramente insiemistico... ↑

[galles90]

Grazie ottima delucidazione