Ciao a tutti,
per lunedì devo consegnare un esercizio per il corso di algebra e teoria dei numeri, e non riesco ad impostare il problema.
"$GL_2(\mathbb F_2)$ opera su ${\mathbb F_2}^2$ \ ${0}$. Si dimostri che:
1. Questa operazione è transitiva
2. Questa operazione è fedele
3. $GL_2(\mathbb F_2)$ è isomorfo al gruppo simmetrico $S_3$"
Mio tentativo di impostare il problema
1. L'operazione è quindi del gruppo $GL_2(\mathbb F_2)$ sull'insieme ${\mathbb F_2}^2$ \ ${0}$. Ciò significa che:
$G × M → M ; (g, m) → g · m$
quindi vale la proprietà dell'esistenza dell'elemento neutro e l'associatività relative all'operazione.
Vi prego di correggermi se sbaglio.
L'operazione è transitiva se esiste un'unica orbita. L'orbita di $m in M$ è definita come tutti gli elementi tali che: $O(m):={gm in M | g in G}$.
L'insieme ${\mathbb F_2}^2$ \ ${0}$ è composto dai tre elementi $(0,1),(1,0),(1,1)$.
Il gruppo $GL_2(\mathbb F_2)$ invece è composto dai 6 elementi ${((1,0),(0,1)),((0,1),(1,0)),((0,1),(1,1)),((1,0),(1,1)),((1,1),(0,1)),((1,1),(1,0))}$.
Ma qui mi blocco, in quanto credo che non mi sia chiara la definizione di orbita. Se provo a prendere i primi due elementi di G ed M ho:
$((1,0),(0,1))(0,1)=(0,1) in M | g in G$, ma questo vale anche se considero il secondo elemento di M: $((1,0),(0,1))(1,0)=(1,0) in M | g in G$.
Dove è che sbaglio?