Operazione del gruppo GL2 su F2

Messaggioda Guerino » 23/11/2017, 23:48

Ciao a tutti,

per lunedì devo consegnare un esercizio per il corso di algebra e teoria dei numeri, e non riesco ad impostare il problema.

"$GL_2(\mathbb F_2)$ opera su ${\mathbb F_2}^2$ \ ${0}$. Si dimostri che:
1. Questa operazione è transitiva
2. Questa operazione è fedele
3. $GL_2(\mathbb F_2)$ è isomorfo al gruppo simmetrico $S_3$"

Mio tentativo di impostare il problema

1. L'operazione è quindi del gruppo $GL_2(\mathbb F_2)$ sull'insieme ${\mathbb F_2}^2$ \ ${0}$. Ciò significa che:

$G × M → M ; (g, m) → g · m$

quindi vale la proprietà dell'esistenza dell'elemento neutro e l'associatività relative all'operazione.

Vi prego di correggermi se sbaglio.
L'operazione è transitiva se esiste un'unica orbita. L'orbita di $m in M$ è definita come tutti gli elementi tali che: $O(m):={gm in M | g in G}$.
L'insieme ${\mathbb F_2}^2$ \ ${0}$ è composto dai tre elementi $(0,1),(1,0),(1,1)$.
Il gruppo $GL_2(\mathbb F_2)$ invece è composto dai 6 elementi ${((1,0),(0,1)),((0,1),(1,0)),((0,1),(1,1)),((1,0),(1,1)),((1,1),(0,1)),((1,1),(1,0))}$.

Ma qui mi blocco, in quanto credo che non mi sia chiara la definizione di orbita. Se provo a prendere i primi due elementi di G ed M ho:

$((1,0),(0,1))(0,1)=(0,1) in M | g in G$, ma questo vale anche se considero il secondo elemento di M: $((1,0),(0,1))(1,0)=(1,0) in M | g in G$.

Dove è che sbaglio?
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Re: Operazione del gruppo GL2 su F2

Messaggioda Shocker » 24/11/2017, 00:26

Scusa ma cosa ti turba di quanto hai scritto? Cioè, perché pensi di sbagliare? Dove poi? Non hai avanzato nessuna tesi.
La definizione di orbita di un elemento è $O(m) = {g\cdotm | g \in G}$, come hai ben scritto. Cosa vuol dire che $y \in O(m)$? Vuol dire che $\exists g \in G$ tale che $y = g\cdotm$. Alla luce di ciò, cosa vuol dire che esiste un'unica orbita?
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Re: Operazione del gruppo GL2 su F2

Messaggioda Guerino » 24/11/2017, 08:59

Pensavo di trovare solo un elemento che facesse parte di $O (m) $, invece ne ho già trovati due (ossia ho trovato due y). Giusto?
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Re: Operazione del gruppo GL2 su F2

Messaggioda Shocker » 24/11/2017, 10:02

No, non hai trovato niente. Da quanto hai scritto hai semplicemente detto che $(1,0)\in O((1,0))$ e $(0,1) \in O((0,1))$(e grazie tante, hai fatto agire l'identità del gruppo :P). Questo non vuol dire che le due orbite sono diverse.
Mi dici allora cosa vuol dire che c'è un'unica orbita?
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Re: Operazione del gruppo GL2 su F2

Messaggioda Guerino » 24/11/2017, 12:06

Si è qui in effetti che non capisco. L'orbita è unica se esiste ed è unica la $g in G $ per cui vale la relazione sopra citata?
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Re: Operazione del gruppo GL2 su F2

Messaggioda Shocker » 24/11/2017, 12:31

Le orbite esistono sempre e orbite distinte sono disgiunte. Se il gruppo agisce transitivamente su un insieme vuol dire che tutti gli elementi dell'insieme sono contenuti in una sola orbita, come scritto sopra $x \in O(m) iff \exists g \in G | x = g \cdot m$.
La $g$ per cui questo avviene non è detto che sia unica unica: se lo stabilizzatore di $m$ non contiene solo l'identità allora è chiaro che $g' \in Stab(m)$ non banale implica $gg' \cdot m = g \cdot m = x$.

Dimostrare che l'azione è transitiva equivale a dire che, fissato $m \in X$($X$ è l'insieme su cui agisco), $\forall y \in X \exists g \in G | y = g \cdot m$.
Inoltre se l'azione è transitiva la scelta di $m$ è indifferente, infatti se scegli $m' != m$, poiché l'azione è transitiva $\exists g \in G | m = g\cdotm'$ e quindi $O(m) \nn O(m') != \emptyset => O(m) = O(m')$.
Chiaro?
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Re: Operazione del gruppo GL2 su F2

Messaggioda Guerino » 25/11/2017, 18:41

Grazie mille del supporto e scusami della mia lentezza ma sono un vero principiante in questi temi :) .

Credo di aver capito. Ho quindi impostato la soluzione per i tre punti da risolvere come segue.

1.
Definisco l'insieme M come: $M=\mathbb F_2^2$ \ ${0} = {x,y,z}={((0),(1)),((1),(0)),((1),(1))}$
e il gruppo G: $G=GL_2(\mathbb F_2)={g_1,g_2,g_3,g_4,g_5,g_6}={((1,0),(1,1)),((0,1),(1,1)),((1,1),(0,1)),((1,1),(1,0)),((1,0),(0,1)),((0,1),(1,0))}$

Considero $m_1$ con $g_1, g_2, g_6$: $O(m_1)={g*m_1 in M : g in G}={(((1,0),(1,1))((0),(1)), (((0,1),(1,1))((0),(1)), (((0,1),(1,0))((0),(1))}={((0),(1)),((1),(0)),((1),(1))}$,

ho quindi riprodotto già tutto M e posso quindi fermarmi, valendo $O(m_i) sube M$ (in questo caso ho $O(m_1) = M$). Poichè anche $m_2,m_3 in O(m_1)$, vale quindi: $O(m_1)=O(m_2)=O(m_3)=M$, e quindi esiste solo un'orbita.

2.
L'operazione è fedele se vale:
${e}={g in G : g*m=m AA m in M}$

in tal caso basta considerare $g=g_5=((1,0),(0,1))$:

Si ottiene: ${g*m=m AA m in M, text{con } g=g_5=((1,0),(0,1))}=((1,0),(0,1))={e}$

Quindi l'operazione è fedele.

3.
Si ha $S_3:={text{Gruppo simmetrico di ordine 3 }}=S(N)=S({1,2,3})$.
Dobbiamo mostrare che $\alpha : GL_2(\mathbb F_2) \rightarrow S_3$ è un isomorfismo (ossia un omomorfismo di gruppi biiettivo), con $\alpha(g)(n)=gn, text{ con } g in GL_2(\mathbb F_2)=G, n in N, s=gn in S_3$

Mostriamo che $\alpha$ è un omomorfismo:

Vale, per ogni $g_i,g_j in G=GL_2(\mathbb F_2)$ e per ogni $n in N$: $(\alpha(g_i)*\alpha(g_j))*m=\alpha(g_i)*(\alpha(g_j)*m)=g_i*(g_j*m)=(g_i*g_j)*m=\alpha(g_i*g_j)*m$, dove per le uguaglianze abbiamo usato le proprietà dei prodotti righe per colonne di matrici (in particolare la moltiplicazione con scalari $n in RR$) e abbiamo semplicemente applicato la trasformazione $\alpha(g)=g$.

Mostriamo che l'omomorfismo è biiettivo:

è biiettivo se esiste l'inversa di $\alpha(g)=g$ ed è unica. Nel nostro caso, poichè gli elementi g sono delle matrici 2x2 con determinante diverso da zero, l'inversa esiste ed è la $\alpha^-1(g)=g^-1$. Sappiamo che è unica, e, se definiamo $\alpha(g)=g=((a,b),(c,d))$, vale: $\alpha^-1(g)=g^-1=[1/(ad-bc)]*((d,-b),(-c,a))$. Lo mostriamo esplicitamente per le nostre $g_i$:

$g_1^-1=((1,0),(-1,1))$ , $g_2^-1=((-1,1),(1,0))$ , $g_3^-1=((1,-1),(0,1))$ , $g_4^-1=((0,1),(1,-1))$ , $g_5^-1=((1,0),(0,1))$ , $g_6^-1=((0,1),(1,0))$ .

Quindi $\alpha$ è un isomorfismo.

Sono corrette come soluzioni?
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Re: Operazione del gruppo GL2 su F2

Messaggioda Shocker » 26/11/2017, 20:43

Ok per il primo punto.


Guerino ha scritto:2.
L'operazione è fedele se vale:
${e}={g in G : g*m=m AA m in M}$

in tal caso basta considerare $g=g_5=((1,0),(0,1))$:

Si ottiene: ${g*m=m AA m in M, text{con } g=g_5=((1,0),(0,1))}=((1,0),(0,1))={e}$

Quindi l'operazione è fedele.

Da quanto hai scritto si evince solo che $e \in {g \in G | g \cdot m = m \forall m \in M}$. O almeno io ho capito questo.

3.
Si ha $S_3:={text{Gruppo simmetrico di ordine 3 }}=S(N)=S({1,2,3})$.

Gruppo simmetrico su $3$ elementi o su un insieme di $3$ elementi, non di ordine $3$.


Dobbiamo mostrare che $\alpha : GL_2(\mathbb F_2) \rightarrow S_3$ è un isomorfismo (ossia un omomorfismo di gruppi biiettivo), con $\alpha(g)(n)=gn, text{ con } g in GL_2(\mathbb F_2)=G, n in N, s=gn in S_3$

Scusa... $gn \in S_3$? Intanto l'azione non la stai facendo su ${1, 2, 3}$ ma su ${ ( (1), (0)), ( (0), (1)), ( (1), (1))}$, quindi $N = { ( (1), (0)), ( (0), (1)), ( (1), (1))}$, ora: se $g$ agisce su $n \in N$ deve restituire un elemento di $N$, quindi chiaramente $gn$ non è un elemento di $S_3$.
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Re: Operazione del gruppo GL2 su F2

Messaggioda Guerino » 26/11/2017, 21:13

Grazie hai ragione!
Correggo al volo il tutto :)
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