$QQ(\sqrt{-7}) \subset QQ(\zeta_7)$ ?

[zariski]

Salve a tutti,
ho passato troppo tempo a cercare di capire una soluzione di un esercizio di teoria dei campi prima di rendermi conto che ci sono dei passaggi errati, quindi questo mi fa pensare che anche quello che sto cercando di mostrare potrebbe non essere vero.

OT: Dire che $X^7-11$ e' irriducibile in $Q[X]$ per Eisenstein con $p=11$ e poi affermare (e usare anche questa affermazione successivamente) che $[QQ[11^{frac{1}{7}}] : QQ]=2$ non ha senso, vero?

Perche' viene detto cio', e quindi mi viene da dubitare anche riguardo ad altre cose che vengono dette, in particolare non capisco per quale motivo dovrebbe essere vero che $QQ(\sqrt{-7}) \subset QQ(\zeta_7)$ (dove $\zeta_7=e^{frac{2\pi i}{7}}$ e (presumo) $\sqrt{-7}=i sqrt{7}$).

Mi sono convinto che il 7-imo campo ciclotomico debba avere un unico sottocampo di grado 2 su $QQ$ ragionando col gruppo di Galois, e mi sono anche convinto che $QQ(\sqrt{-7})$ abbia grado 2 su $QQ$, ma perche' mai dovrebbero necessariamente stare uno dentro l'altro?

Ho cercato di astrarre la questione un po' siccome molte cose mi sono chiare in modo da chiedere solo quello che non capisco ma se puo' servire posso scrivere il testo di tutto l'esercizio con la mia soluzione parziale.
Come sempre grazie mille a tutti.

[Martino]

Come prima approssimazione puoi dare un'occhiata a questo, nel caso specifico in effetti aiuterebbe avere il testo a cui stai facendo riferimento e qualche dettaglio in più.

Il grado \( \displaystyle [\mathbb{Q}[11^{1/7}]:\mathbb{Q}] \) è ovviamente uguale a $7$ (per il criterio di Eisenstein, come hai detto).

[zariski]

Allora, credo di aver scoperto il problema, semplicemente ho cercato di fare un esercizio che usa della teoria non abbiamo ancora visto a lezione. In particolare credo qualcosa di teoria dei numeri che ha a che fare con le congruenze modulo 4.

Per completezza riporto anche il punto dell'esercizio incriminato:

Sia $K$ il campo di spezzamento di $(X^7-11)(X^2+7) \in QQ[X]$, mostrare che $K \sup QQ$ e' un'estensione di Galois e calcolarne il grado.

La mia soluzione e' questa:
$\char (QQ) = 0 \implies QQ$ perfetto, quindi $(X^7-11)(X^2+7) \in QQ[X]$ e' separabile e dunque $K \sup QQ$ e' di Galois.
A questo punto considero $L$ il campo di spezzamento di $(X^7-11)$ e mi accorgo che $L=QQ(11^\frac{1}{7}, \zeta_7)$, quindi vedo che $L$ contiene due sottocampi di grado coprimo su $QQ$; ossia $QQ(11^\frac{1}{7})$ e $Q(\zeta_7)$.
Infatti so dalla teoria che il settimo campo ciclotomico ha grado $6$ su $Q$ e verifico facilmente che $QQ(11^\frac{1}{7}]$ ha invece grado $7$ su $QQ$. Questo mi basta per concludere che $[L : QQ] = 6 * 7 = 42$.

Ed e' qua che arrivano i problemi, la soluzione che ho dice che siccome il settimo campo ciclotomico contiene un solo campo di grado $2$ su $QQ$ (e su questo nessun problema) e siccome $-1 \equiv_4 7$ (ed e' qui il problema) allora quel campo di grado $2$ deve essere proprio $QQ(\sqrt{-7})$. Dunque $K=L$ e ho finito.

Credo di non avere ancora gli strumenti per capire il perche' di quella giustificazione (anche se e' una questione di settimane), tuttavia chiedo lo stesso di darmi la motivazione, anche a scatola chiusa.
Grazie mille ancora

[Martino]

Hai dato un'occhiata al link che ti ho passato? In particolare questo articolo.

Ti riporto il punto critico. Nel campo ciclotomico \( \displaystyle \mathbb{Q}(\zeta_p) \) Se definisci la somma di Gauss

\( \displaystyle S := \sum_{i=1}^{p-1} \left( \frac{i}{p} \right) \zeta_p^i \in \mathbb{Q}(\zeta_p) \)

allora un conto (vedi il link) mostra che

\( \displaystyle S^2 = \left( \frac{-1}{p} \right) p \) .

Qui \( \displaystyle \left( \frac{a}{p} \right) \) indica il simbolo di Legendre.

Specifico che la teoria che studierai nelle prossime settimane spiegherà questo fenomeno come un caso particolare.