Automorfismi tra campi estesi al sottocampo fondamentale

[ceanto12]

Salve a tutti,
avrei bisogno di un aiutino.
Vi allego di seguito il link del pdf di cui vorrei parlarvi

http://www.dmi.units.it/~brundu/didattica/algebra2/dispense/campi_5_6_2017.pdf

A pagina 70 nella proposizione 4.6 ci sta dimostrando che l'automorfismo esteso al sottocampo fondamentale di K è l'identita su K. Viene effettuato un passaggio automatico phi(m 1_k)= m phi(1_k) con m appartenente a Z... vorrei cercare di avere una spiegazione a questo passaggio
Forse ignoro qualcosa, o semplicemente c'è qualcosa che non so
La motivazione che mi sono data io è che m resta fissato o quanto meno viene portato fuori, poichè appare come scalare perchè Z viene considerato come campo scalare
oppure entra il gioco la caratteristica?


grazie a chi verrà

[Martino]

Prova a pensare all'uguaglianza $phi(1+1)=phi(1)+phi(1)$.

[ceanto12]

Prova a pensare all'uguaglianza $phi(1+1)=phi(1)+phi(1)$.

Questo non avviene per le proprietà degli omomorfismi??

[Martino]

Esatto, e come vedi può essere riscritto come $phi(2)=2phi(1)$. Analogamente

$phi(3)=phi(1+1+1)=phi(1)+phi(1)+phi(1)=3phi(1)$.

Riesci a generalizzare?

[ceanto12]

ok forse ci sono...
m per 1_k intendiamo m volte l'elemento neutro quindi applicando phi otteniamo m phi (1_k)

Dunque si può dire che questo passaggio avviene vuoi per le proprietà degli omomorfismi vuoi per come è costruita l'applicazione per definire la caratteristica?

[Martino]

No, la dimostrazione va fatta distinguendo i casi $m > 0$, $m=0$ e $m<0$, se vuoi prova.

[ceanto12]

Provo a dimostrarlo per induzione su m , m >0
Passo 1 m=1 \(\displaystyle \phi(1)=1 \) proprietà degli isomorfismi
Passo induttivo supponiamo sia vero per m=n per ogni n appartenente a N dimostriamolo per m= n+1
\(\displaystyle \phi((n+1)\cdot 1)= \phi(n 1 + 1) = \phi(n \cdot 1) + \phi(1) = n \cdot 1 + 1
\)
quindi vero per ogni m


caso m = 0 \(\displaystyle \phi( 0\cdot 1)= \phi(0) \cdot \phi(1) = 0 \cdot \phi(1) \) per la proprità degli omomorfismi

Ci ho provato...

[Martino]

Sì giusto, per concludere dovresti fare il caso in cui $m$ è minore di zero.

[ceanto12]

per il caso minore di zero non si può applicare l'induzione... mmm
per -1 si può sfruttare la proprietà del inverso
ma non mi risulta così immadiato...

[Martino]

Se $m<0$ allora hai che $phi(m)=-phi(-m)$, adesso $-m > 0$ quindi puoi usare il caso precedente.