La matematica discreta è diventata famosa per le sue applicazioni in informatica. I concetti e le notazioni della matematica discreta sono utili per lo studio o la modellazione di oggetti o problemi negli algoritmi informatici e nei linguaggi di programmazione.
Per i concetti opposti, vedere continuo, topologia, e analisi matematica.
Ecco, a me interessa invece capire il luogo di incontro tra questi 2 sistemi, quali assiomi, se esistono (assiome di separazione, di scelta..), quali oggetti o strutture "legano" (insieme, classe, categorie..) permettono poi di "passare" (scusate la volgarità), da una struttura discreta ad una continua.
Parto da quello che non capisco :
ogni funzione definita su uno spazio discreto (a valori in un qualsiasi spazio topologico) è continua.
Io pensavo che la funzione dovesse essere discontinua, quindi la mia domanda nasce
1) per trovare un punto di connessione tra teoria dei grafi e teoria dei gruppi.
Ma..ho visto che esistono anche i gruppi 'discreti'..
http://progettomatematica.dm.unibo.it/R ... 204bis.htm
Pare che da questa 'discretizzazione' non sia possibile uscire, pero, esistono strutture piu fondamentali dei gruppi (anelli, ideali, categorie) che non capisco bene in che modo si possono 'relazionare' con le strutture discrete.
Parto da un applicazione: Register Allocation by Graph Coloring
Praticamente la teoria dei grafi pesantemente si collega direttamente (?) alla geometria combinatoria, da cui, poi i nostri politopi. Ma..già qui una connessione si trova con le strutture piu profonde, ma queste ancora, non capisco se restano ancora del tutto 'discrete', mi pare di si
Due politopi convessi P e Q si dicono affinemente isomorfi se esiste una trasformazione affine tra i due spazi che li contengono che è una biiezione fra i due insiemi di punti P e Q
A proposito di trasformazioni affini
Esempi di affinità sono rotazioni, omotetie, traslazioni, rototraslazioni, riflessioni. Le affinità non sono necessariamente isometrie, non preservano cioè angoli e distanze, mentre mantengono sempre il parallelismo tra le rette.
Da qui a sembra di scorgere un collegamento tra i politopi e con la teoria dei gruppi, in particolare il gruppo diedrale e ai gruppi non commutativi
Il gruppo diedrale di ordine 2n è il gruppo formato dalle isometrie del piano che lasciano immutati i poligoni regolari a n lati.
Gruppo diedrale: prodotto semidiretto dei gruppi ciclici
Qui arriviamo all' insieme generatore di un gruppo
Altri collegamenti
equazione delle classi
teorema orbita-stabilizzatore
azioni di gruppi
classi di coniugazione
Relazione di equivalenza
Insieme quoziente
classe di equivalenza
finchè arriviamo al potente concetto di invarianza topologica e quindi di topos
E qui..sembra di scorgere un ponte tra il discreto e continuo
2) Vorrei trovare il "punto" che permette di "passare"
-> o su una topologia discreta
-> o su una topologia non-discreta (banale..)
Il concetto di insieme aperto/chiuso pare non sia essere sufficiente come invariante perchè si pone piu come un operatore, come una sorta di "interrutore".
Cosi ho trovato 2 cose potenzialmente connesse
- Assioma della Scelta
- Invariante topologico => il lavoro della O.Caramello mi ha incuriosito, ma qui si parla di 'trasferimento' di informazioni mediante invarianze topologiche
In realtà stavo cercando anche un modo per 'passare' (scusate la volgarità) da una struttura discreta a una non discreta.
La ragione della mia domanda è legata al metodo con cui si generano questi algoritmi per allocare i registri durante la fase di generazione del codice (in particolare nella fase di compilazione) in cui viene pesantemente applicata la teoria dei grafi, a me, però, non mi piace molto il metodo con cui si generano tali algoritmi perchè l'approccio resta tipicamente Top-Down dove l'algoritmo dipende dalla creazione del linguaggio stesso (Regole di Produzione), e questo impone una particolare dipendenza semantica legata al sistema, in quanto, in sostanza si pone come generatore, quindi un sistema di assegnazione delle variabili.
Io cerco invece piu un metodo matematico di programmazione, svincolato da quel particolare sistema di elaborazione o da quella particolare architettura hardware.
E qui tutto un legame con la teoria dei tipi, la tipizzazione (ho solo dato un'occhiata alla teoria omotopica dei tipi), ma il problema delle strutture discrete resta costante in quanto si applica la solita teoria dei grafi, un metodo che trovo un poco superficiale dato che oggi disponiamo di un framework potentissimo come la Teoria delle Categorie.
Ho gia visto che esiste una connessione tra la teoria dei grafi con i gruppi ma questi rimangono fondamentalmente discreti, a me questo non piace perchè non è il mio obbiettivo
https://math.stackexchange.com/question ... aph-theory
