Per Ramona

[Valerio Capraro]

dunque, dimostriamo che R è equipotente a 2^N.
procediamo in due passi:

1) R è equipotente a [0,1)

2) [0,1) è equipotente a 2^N

dimostrato questo, per transitività si avrà la tesi.

1) costruiamo innanzi tutto una biiezione tra R e (0,1), ad esempio, f(t) = 1/2 + 1/pi * arctg(t), dove pi=pi_greco

costruiamo ora una biiezione g tra [0,1) e (0,1).

Sia S={1/n, n>=2}, S è contenuto in (0,1). Inoltre S è numerabile ovviamente; quindi anche S U {0} è numerabile, esiste quindi una biiezione h da S U {0} a S.

definiamo g(t) = t se t non è elemento di S U {0} e g(t) = h(t) se t è elemento di S U {0}. quindi, per costruzione, g è una biiezione tra [0,1) e (0,1), ne consegue che f^(-1) o g è una biiezione tra [0,1) e R

2)

Osserviamo che ogni numero in [0,1) può essere scritto in modo unico nella forma:

0 + a(1)/2 + a(2)/4 + .... + a(k)/2^k +.... con a(i) elemento di {0,1} e a(i) non definitivamente uguale ad 1. Si tratta insomma di scrivere un reale in base 2!

Siano X l'insieme delle successioni di zero e di uno non definitivamente uguali ad 1 e Y l'insieme delle successioni di zero e di uno definitivamente uguali ad uno. Risulta ovviamente 2^N = X U Y

ora, per le considerazioni precedenti, X è equipotente a [0,1);
d'altra parte, risulta Y equipotente a N, infatti, sia k il primo indice a partire dal quale la successione è tutta uguale ad 1, esistono 2^(k-1) successioni di questo tipo; si può quindi pensare Y come un insieme di questo tipo:

Y = { S(1),...S(k)...} dove S(k) indica l'insieme delle successioni definitivamente uguali ad 1 a partire dal k-esimo indice. si ottiene Y, quindi come unione di una infinità numerabile di insiemi finiti;
quindi Y è numerabile.

ora, ricordando il lemma di Dedekind: Sia X infinito e Y finito o numerabile, allora X U Y è equipotente a X.

si ha, quindi, dal lemma di Dedekind X U Y equipotente a X che è equipotente a (0,1); quindi, per transitività [0,1) è equipotente a 2^N e, ancora per transitività, come detto, 2^N è equipotente a R

ora me ne posso anche andare a dormire...

ciao, ubermensch

[Ramo82]

grazie 1000 ^__^

[Camillo]

Probabilmente quella che sto per scrivere è una grossa cavolata ,
ma come possono essere equipotenti R e 2^N ?
R ha la potenza del continuo mentre 2^N è numerabile
ciao
Camillo

[Valerio Capraro]

forse la spiegazione sta nella notazione... con N in questo caso si indica l'insieme dei naturali, quindi 2^N è l'insieme delle successioni di 0 e di 1, che ha la cardinalità del continuo, come ha dimostrato Cantor e io ho riportato.

ciao, ubermensch