Teorema della base di Hilbert

[manuelb93]

Buonasera ragazzi, volevo chiedervi delucidazioni riguardo la dimostrazione del teorema della base di Hilbert (R noetheriano -> R[T] noetheriano) che non ho ben capito a lezione.

In particolare non ho capito perché si prende l'ideale generato dai coefficienti direttori e nemmeno le conseguenze di questa scelta.

Potete spiegarmi perfavore?

[killing_buddha]

non ho capito perché si prende l'ideale generato dai coefficienti direttori

Perché fa funzionare la dimostrazione

e nemmeno le conseguenze di questa scelta.

perché così il teorema è vero.

[Ernesto01]

Qui è spiegato molto bene rispetto alla wiki italiana.
https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_basis_theorem
Detto molto terra a terra:
Supponi per assurdo che R[x] non sia noetheriano, allora puoi costruire una successione di polinomi con quelle determinate ipotesi.
(Pensa magari al motivo per cui è possibile crearla)
L'unica informazione che hai è che R è noetheriano, quindi devi utilizzare questa cosa per arrivare alla tesi.
Ora consideri gli ideali generati dai primi $n$ coefficienti direttori al passo $n$ (sono ideali di R e crescenti), dato che l'anello R è noetheriano questa catena crescente è stazionaria da un certo punto in poi.
Grazie a questo fatto, riesci a costruire un polinomio che contraddice l'ipotesi sul grado della successione dei polinomi, e quindi è un assurdo. Quindi R[x] è necessariamente noetheriano.

[manuelb93]

Qui è spiegato molto bene rispetto alla wiki italiana.
https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_basis_theorem
Detto molto terra a terra:
Supponi per assurdo che R[x] non sia noetheriano, allora puoi costruire una successione di polinomi con quelle determinate ipotesi.
(Pensa magari al motivo per cui è possibile crearla)
L'unica informazione che hai è che R è noetheriano, quindi devi utilizzare questa cosa per arrivare alla tesi.
Ora consideri gli ideali generati dai primi $n$ coefficienti direttori al passo $n$ (sono ideali di R e crescenti), dato che l'anello R è noetheriano questa catena crescente è stazionaria da un certo punto in poi.
Grazie a questo fatto, riesci a costruire un polinomio che contraddice l'ipotesi sul grado della successione dei polinomi, e quindi è un assurdo. Quindi R[x] è necessariamente noetheriano.

Grazie mille!!