Decomoposizione in elementi irriducibili in Z[SQRT(-5)]

[Guerino]

Ciao a tutti,

vorrei chiedervi un aiuto per un esercizio di algebra astratta.

"Si mostri che in $Z[-5^0.5]$ non esiste una unica suddivisione in elementi irriducibili"

Mio tentativo
Significa che cerco una suddivisione del mio polinomio generico nella forma $P_1*P_2$, con i $P_i$ irriducibili e gradi dei $P_i$ maggiore di zero.
Ho provato ad impostare il problema considerando il polinomio generico:
$a+b*(-5)^0.5$ con $a,b in Z$.

Se a e b sono dei numeri primi non si ha alcuna soluzione.
Si ha una possibilità di dividere in polinomi irriducibili solo nel caso in cui a e b abbiano lo stesso divisore.
In tal caso:

$a+b*(-5)^0.5=a*(1+(b/a)*(-5)^0.5)$ e quindi ho determinato il mio $P_1$ e $P_2$.
Ora posso anche dividere (in generale, sulla base dei valori a e b) per $a/2$ ad esempio. Così troverei un altro $P_1$ e $P_2$. E quindi avrei mostrato che la suddivisione non è unica.

Ma non sono sicuro che sia questo che mi si chieda nell'esercizio... Potete darmi conferma?

[Stickelberger]

Se a e b sono dei numeri primi non si ha alcuna soluzione.
Si ha una possibilità di dividere in polinomi irriducibili solo nel caso in cui a e b abbiano lo stesso divisore.

$59+3\sqrt{-5}=(6+\sqrt{-5})(9-\sqrt{-5})$

[killing_buddha]

$Z[-5^0.5]$

Occhio alle bestemmie.

[Guerino]

$Z[-5^0.5]$

Occhio alle bestemmie.