Dimostrare identità sui numeri di Fibonacci

[robbis]

Ciao a tutti, sono incappata in questa proprietà dei numeri di Fibonacci: (con $F_i$ intendo l'$i-$esimo numero di Fibonacci, con $F_1=F_2=1$ e $F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$).

$5\sum_{i=0}^{n-1}F_{2i+1}^2=F_{4n}+2n$

Ho provato a dimostrarla utilizzando la formula di Binet, secondo la quale

$F_n=\frac{\alpha^n-\beta^n}{\alpha-\beta}$

con $\alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$, $\beta=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$
e di conseguenza $\alpha\beta=-1$, $\alpha+\beta=1$ e $\alpha-\beta=\sqrt{5}$

utilizzando tali proprietà sono arrivata a

$5\sum_{i=0}^{n-1}F_{2i+1}^2=\sum_{i=0}^{n-1}(\alpha^{4i+2}+\beta^{4i+2})+2n$

Di coneguenza ho cercato di dimostrare che il secondo membro ($2n$ escluso) equivale a $F_{4n}$.
Ho sfruttato il fatto che $\forall n$, $\alpha^n=\alphaF_n+F_{n-1}$ , idem per $\beta$, e che $\alpha +\beta=1$, e ho riscritto il secondo membro come

$\sum_{i=0}^{n-1}(F_{4i+2}+2F_{4i+1})$.

A questo punto ho chiamato in causa altre 3 proprietà dei numeri di Fibonacci, che elenco qui di seguito


$F_3+F_7+F_11+...+F_{4n-1}=F_{2n}F_{2n+1}$
$F_1+F_5+F_9+...F_{4n-3}=F_{2n-1}F_{2n}$
$F_{m+n}=F_{m+1}F_n+F_mF_{n-1}$

Dunque
\begin{split}
\sum_{i=0}^{n-1}(F_{4i+2}+2F_{4i+1})&=(F_2+2F_1)+(F_6+2F_5)+(F_{10}+2F_9)+...+(F_{4n-2}+2F_{4n-3})\\
&=F_3+F_7+F_11+...+F_{4n-1}+(F_1+F_5+F_9+...+F_{4n-3})\\
&=F_{2n}F_{2n+1}+F_{2n-1}F{2n}=F_{4n}
\end{split}

dove l'ultima uguaglianza segue dall'ultima proprietà ponendo sia $m$ che $n$ pari a $2n$
La mia domanda è (oltre a chiedere a qualche anima pia se ha voglia di dare un'occhiata ai conti), c'è un modo più veloce per dimostrare la proprietà del testo senza tirare in ballo tutte queste altre proprietà o la scrittura con la formula di Binet?

Grazie in anticipo a chi vorrà rispondere

[Stickelberger]

E’ comodo dimostrare la formula per induzione:

Per $n=1$ la formula diventa $5F_1^2=F_4+2$ ed e’ valida.

Per il passo induttivo, va dimostrato che $F_{4n+4}-F_{4n}=5F_{2n+1}^2-2$ per $n\ge 1$.

Siccome $\alpha-\beta=\sqrt{5}$ e $\alpha\beta=-1$ l’espressione a destra e’ uguale a

$5(\frac{\alpha^{2n+1}-\beta^{2n+1}}{\sqrt{5}})^2 -2 = \alpha^{4n+2} + \beta^{4n+2}$.

E quindi, va dimostrato che per ogni $n\ge 1$ si ha che

$\alpha^{4n+4} - \beta^{4n+4} - \alpha^{4n} +\beta^{4n}=\sqrt{5}(\alpha^{4n+2} + \beta^{4n+2})$,

e questo segue dal fatto che $\alpha^4 - 1=\sqrt{5}\alpha^2$ (e la stessa identita’ per $\beta$).

[robbis]

Grazie mille!
Chissà perchè, avevo preso in considerazione l'induzione, ma non capio come applicare il passo induttivo..invece era una sciocchezza ed è molto più veloce e pulita così!
I tuoi passaggi sono stati di grande aiuto!