Esempi per rendere commutativo il prodotto vettoriale attraverso la moltiplicazione tra matrici o una struttura ad hoc ?

[francox]

@Killua

Chiediti allora perchè voi matematici rappresentate il flusso di un campo vettoriale PERPENDICOLARE

Si introduce un vettore superficie S con modulo uguale all'area della superficie e direzione perpendicolare alla superficie stessa.
Il flusso di un campo vettoriale è una grandezza scalare che dipende dal campo e dalla superficie rispetto alla quale viene calcolato.

Prova a NON considerarlo perpendicolare! Costruisci una teoria iniziando da questo, scoprirai che il prodotto vettoriale è commutativo perchè esiste una violazione del flusso vettoriale.

Per una svista del genere tu vincerai il premio Nobel, amico mio. Io lo sento ed è per questo che voglio che tu veda. Abbi fede in me

[vict85]

In ogni caso non commutativo non implica anticommutativo, seppur anticommutativo implichi non commutativo. Detto questo la tua domanda non è per nulla chiara.

Ti faccio comunque notare che l'anticommutatività è una caratteristica molto importante/fondamentale del prodotto vettoriale. Senza di essa stai lavorando con un oggetto diverso, verosimilmente meno espressivo. Insomma se tu rendessi il prodotto vettoriale commutativo allora come potresti distinguere tra flusso entrante e flusso uscente?

[killing_buddha]

Il fatto che il prodotto vettoriale sia anticommutativo ha un significato geometrico molto preciso. Non c'è nessuna ragione di sbarazzarsi di questa proprietà.

[dissonance]

come mangiare il cioccolato sulla polenta: oltre ad essere disgustoso, e' anche intrinsecamente sbagliato.

Però il cioccolato sulla polenta è buono:

https://www.cioccolateriaveneziana.it/c ... o-ricetta/

P.S.: meglio discutere di cucina che delle idee crank-like di Franco. Ho dato un'occhiata. Basandomi sulla mia esperienza in questo forum posso affermare che, con probabilità 1, questa discussione non porterà a nulla di sensato.

[francox]

Ti faccio comunque notare che l'anticommutatività è una caratteristica molto importante/fondamentale del prodotto vettoriale. Senza di essa stai lavorando con un oggetto diverso, verosimilmente meno espressivo. Insomma se tu rendessi il prodotto vettoriale commutativo allora come potresti distinguere tra flusso entrante e flusso uscente?

Si, ma..il problema non è distinguere se è entrante o uscente, qui tu arrivi alla divergenza (sorgenti, pozzi..) io invece, mi sto chiedendo che tipo di flusso invece avremmo, non se entra o esce, ma come si comporterebbe. Avremmo sempre un flusso completo rispetto alla superficie o esisterebbero dei punti in cui invece non si manifesterebbe come normalmente ? Con il flusso ortogonale queste domande non si pongono nemmeno, ma io queste domande me le faccio: provo a cambiare immagine e poi vedo cosa succede, qualcosa spunta fuori, quasi sempre, un nuovo collegamento è sempre possibile fare.

Se il prodotto vettoriale fosse commutativo, mettiamo per assurdo, che cosa succederebbe ? Di quale oggetto parleremmo o parliamo ?

Non c'è nessuna ragione di sbarazzarsi di questa proprietà.

Dammi una motivazione.
Cosa succederebbe se invece avessimo il prodotto vettoriale commutativo? non vedo ragioni per cui non si potrebbe farlo, non sto dicendo di eliminare la proprietà anticommutativa -> il mio problema non è il preciso significato geometrico, ma poter introdurre un nuovo significato a come trattiamo questo oggetto.

Tra l'altro, rappresentare i vettori con le frecce è una tremenda semplificazione della vera natura che poi esprimono, ci si dimentica del dominio della funzione, infatti i vettori sottendono delle funzioni, a mappe ben definite (operatori, tipo il Nabla) perchè di base, i vettori non sono proprio "frecce", questa è una tremenda semplificazione nel rappresentarli che porta poi a confondere ciò che sono attraverso un modello in apparenza intuitivo.

[francox]

Giusto per citare una fonte
https://mathoverflow.net/questions/1977 ... ent-normal

The gradient of a function is normal to the level sets because it is defined that way. The gradient of a function is not the natural derivative.

è inutile continuare a nascondere la testa sotto la sabbia: il fatto di definirlo ortogonale non garantisce che questo flusso sia realmente sempre ortogonale (o che ci sia come ci aspetteremmo).
Con l'attuale rappresentazione noi non possiamo sapere e nemmeno calcolare, quindi eccome se il problema è matematico, se esiste la possibilità che il flusso vettoriale si possa, invece, comportare come un flusso invece non-ortogonale.

Per quanto riguarda la disuguaglianza triangolare che poi porta al 'preciso significato geometrico', al potente concetto di metrica e definizione di 'distanza' al momento resta la logica conseguenza della rappresentazione che si sceglie: il triangolo.
Ma..nessuno vieta di rappresentare il triangolo in termini diversi (non 3 frecce collegate ai loro vertici) per far emergere o evidenziare il ruolo di un elemento in apparenza marginale o semplicemente ancora non sufficientemente valorizzato.

[vict85]

Ti faccio comunque notare che l'anticommutatività è una caratteristica molto importante/fondamentale del prodotto vettoriale. Senza di essa stai lavorando con un oggetto diverso, verosimilmente meno espressivo. Insomma se tu rendessi il prodotto vettoriale commutativo allora come potresti distinguere tra flusso entrante e flusso uscente?

Si, ma..il problema non è distinguere se è entrante o uscente, qui tu arrivi alla divergenza (sorgenti, pozzi..) io invece, mi sto chiedendo che tipo di flusso invece avremmo, non se entra o esce, ma come si comporterebbe. Avremmo sempre un flusso completo rispetto alla superficie o esisterebbero dei punti in cui invece non si manifesterebbe come normalmente ? Con il flusso ortogonale queste domande non si pongono nemmeno, ma io queste domande me le faccio: provo a cambiare immagine e poi vedo cosa succede, qualcosa spunta fuori, quasi sempre, un nuovo collegamento è sempre possibile fare.

Se il prodotto vettoriale fosse commutativo, mettiamo per assurdo, che cosa succederebbe ? Di quale oggetto parleremmo o parliamo ?

Ho l'impressione che tu abbia qualcosa in mente, ma che tu stia usando i termini totalmente sbagliati per definirli. Tutto sommato il mio suggerimento potrebbe essere di studiarti della geometria differenziale. Specialmente qualcosa che privilegi le forme differenziali rispetto alle notazioni tensoriali (a mio avviso quest'ultime sono meno espressive, seppur più facili da comprendere).

Tra l'altro, rappresentare i vettori con le frecce è una tremenda semplificazione della vera natura che poi esprimono, ci si dimentica del dominio della funzione, infatti i vettori sottendono delle funzioni, a mappe ben definite (operatori, tipo il Nabla) perchè di base, i vettori non sono proprio "frecce", questa è una tremenda semplificazione nel rappresentarli che porta poi a confondere ciò che sono attraverso un modello in apparenza intuitivo.

Concordo che siano delle semplificazioni, ma non penso che tu abbia davvero idea di come siano definiti in realtà. Per capirci, nella mia tesi magistrale, avevo definito i moving frame nel seguente modo:

Definition: Let \(G/H\) be an homogeneous space. A frame is a point of \(\displaystyle G \), a moving frame is a section of the principal bundle \(\displaystyle (G,\pi,G/H) \), and a moving frame on a submanifold \(N\) of \(G/H\) is a section of the pullback of that bundle.

Passando a considerare moving frame su sottovarietà di spazi euclidei la definizione si semplifica un pochino. In particolare si considera \(\displaystyle G = \mathbb{SE}(n)\cong SO(n) \times \mathbb{R}^n \) (ovvero il gruppo delle trasformazioni rigide dello spazio euclideo che preservano l'orientamento).
Con questo gruppo si può vedere un moving frame come una mappa \(\displaystyle x\mapsto (x; e_1, e_2, e_3, \dotsc, e_n) \) dove \(\displaystyle (e_1, e_2, e_3, \dotsc, e_n) \) è una base ortonormale e orientata positivamente di \(\displaystyle \mathbb{R}^n \).
Spesso però capita che si lavori con \(\displaystyle \{x;e_i\} \) come se fossero delle funzioni a valori in \(\displaystyle \mathbb{R}^n \). Questo passaggio è possibile perché \(\displaystyle T\mathbb{R}^n\cong\mathbb{R}^n \). Equivalentemente puoi vederle come \(\displaystyle 0 \)-forme a valori in \(\displaystyle \mathbb{R}^n \). Altro punto importanto è che il loro differenziale \(\displaystyle de_i \) coincide con il loro pushforward tramite la mappa \(\displaystyle x\colon \mathbb{SE}(n)\to \mathbb{R}^n \).
Una volta introdotta l'ipersuperficie \(S\), non si fa altro che definire un moving frame tale che uno dei vettori è normale alla superficie e gli altri sono nella superficie stessa. La direzione dipende dall'orientamento della base ortonormale della ipersuperficie. Le varie formule sono a questo punto solo una questione di calcolo.

[francox]

Ho l'impressione che tu abbia qualcosa in mente, ma che tu stia usando i termini totalmente sbagliati per definirli

Credo a causa di certi collegamenti che faccio poi mi porta a confondermi.

non penso che tu abbia davvero idea di come siano definiti in realtà

mm..adesso si che il discorso si fa ricco e interessante, si, credo che tu abbia centrato il problema.
Potrei dare un'occhiata alla tua tesi ? Mi sembra un lavoro di particolare interesse il tuo e compatibile con alcune ricerche che sto facendo: come mai hai scelto proprio questo argomento ?

Ho visto che si collega al funzionale di Helfrich e dato che ha anche applicazioni importanti (direi fondamentali) in biologia volevo chiederti se la modellazione matematica delle membrane si possa applicare non solo su quelle lipidiche, ma anche ad un'altra membrana: l' assolemma (membrana plasmatica che avvolge l'assone di una cellula nervosa).

Una volta introdotta l'ipersuperficie S, non si fa altro che definire un moving frame tale che uno dei vettori è normale alla superficie e gli altri sono nella superficie stessa.

Dalla definizione del termine 'normale' sembra essere una proprietà 'naturale' del flusso vettoriale.

La direzione dipende dall'orientamento della base ortonormale della ipersuperficie

E qui chiedo venia: voglio capire su che cosa mi crea confusione: intendi che a seconda dell' orientamento della base ortonormale dell' ipersuperficie potrebbe cambiare la direzione del flusso vettoriale rispetto alla superficie ? Ma per definizione il flusso non è normale, cioè ortogonale ?
Qui dicono
http://www.youmath.it/forum/algebra-lin ... elati.html

che

"il problema alla base è cercare di dedurre la formula dal prodotto scalare [...] i vecchi vettori di base risulteranno non piu ortogonali nella nuova base [..] il prodotto scalare non si conserva da una base all'altra ma dipende proprio da essa"

Io penso che però il problema non siano le base o i prodotti scalari, ma nel passaggio da una base all'altra, nel flusso ortogonale del gradiente, da cui parte la mia ipotesi, c'è qualcosa legato all' operatore Nabla rispetto alla funzione scalare (-> campo scalare). L'operatore fa qualcosa che 'potrebbe non fare', non so come spiegarmi, questa violazione dovrebbe determinare un flusso non-ortogonale, per cui per me non mi aiuta partendo dal prodotto scalare, ma dalla proprieta anticommutativa del prodotto vettoriale in quanto l'operatore nabla è una funzione vettoriale. Secondo la mia ipotesi, se è possibile parlare di un flusso non-ortogonale, allora il prodotto vettoriale può diventare, temporaneamente, non-anticommutativo, non so se questo vuol dire commutativo, cmq non-anticommutativo.

Inoltre non mi è molto chiaro su come si fa a cambiare l' orientamento della base ortonormale dell' ipersuperficie, forse non ho capito ancora l'importanza della definizione del moving frame, sto lottando a capirla, la difficoltà è dovuta al fatto che io per capire una cosa devo trovare un collegamento con quello che cerco, non comprendo a priori.

Io sostanza vorrei cercare di dare, definire un possibile modello, una rappresentazione non-ortogonale del flusso vettoriale di un campo gradiente (che per definizione ha un flusso ortogonale) in modo da ottenere una particolare classe di vettori che agiscano attraverso un potenziale campo scalare X, quindi non proprio un campo scalare (tipo C.Higgs), ma un potenziale scalare X in modo da introdurre una sorta di campo virtuale: mi serve un modello per 'agganciarmi' all'operatore altrimenti non funziona l'esperimento.
Voglio calcolare una condizione per verificare se il nostro operatore fa proprio tutto quello che dovrebbe fare, cioè se rispetta le regole, per fare questo ho bisogno di vedere in che modo il flusso ortogonale si comporta, se esistono fluttuazioni, deviazioni o interruzioni allora è evidente che qualcosa è stato violato, quindi se fosse vero questo allora esiste un flusso virtuale del flusso vettoriale: questa sarebbe allora qualcosa che agisce come una proiezione (omomorfismo suriettivo) - devo essere poi in grado di poter definire un funzionale e una funzione misurabile, in modo da poter misurare questa violazione, ovviamente in termini matematici, mi serve questo strumento.

Ho l'impressione che tu abbia qualcosa in mente

Il proiettore.
Mi rendo conto di violentare la matematica, ma per me è difficile parlare per formule, se non traduco la formula in immagine io non capisco quello che cerco. Poi posso anche razionalizzare l'immagine in simboli.

##

Sappiamo che il gradiente trasforma uno scalare in un vettore, la ragione per cui mi interessa il Nabla è che a me serve l'operatore - gli elementi che io ho di partenza sono

- gradiente o campo gradiente
- campo scalare, scalare
- flusso ortogonale del particolare campo (gradiente)

Scopo:

- flusso non ortogonale per determinare una particolare classe di vettori che agiscano attraverso un potenziale campo scalare X. Non mi basta parlare di vettori, parlo di una classe di vettori che si comporta come una particolare azione sul campo scalare.

Non riesco a capire dalle nuove definizioni date se tecnicamente si potrebbe farlo perchè qui si parla di basi ortonormali, c'è qualcosa che mi sfugge, cmq ottima questa idea di usare le forme differenziali, mi piace.

[francox]

Piu mi avvicino all'obbiettivo e piu la differenza tra termini in apparenza inconciliabili si riduce, aumenta si la confusione, ma motiva un' interoperabilità tra definizioni diverse - diventa possibile stabilire collegamenti prima 'impossibili', canali chiusi che ora rivelano l'esistenza di porte trasparenti, invisibili che inizio finalmente a vedere, dando un senso al gioco matematico.

Eccoci arrivati all'esistenza di una matrice del cambiamento di base ma questa non sembra esprimersi come un operatore scalare, ma piu come una sua particolare rappresentazione che nasce proprio per definire, invece, un flusso ortonormale piuttosto che uno non ortogonale.
Il flusso ortogonale ci riporta al metodo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt, ma è chiaro che manca ancora un pezzo al puzzle.

Riguardo al collegamento
https://groups.google.com/forum/#!topic ... f1f5bWiY64

A quanto pare hai ragione tu Vittorio nel consigliarmi di passare alle forme differenziali

Il legame esiste nel senso che i due prodotti scalari (visti come forme bilineari sullo spazio dei coefficienti) sono trasformabili uno nell'altro con un cambiamento di base (infatti la base 1 ,x ,x^2 ecc...) non e` ortonormale. I coefficienti dei polinomi che formano una base ortonormale nel prodotto scalare che hai introdotto danno la matrice del cambiamento di base.

[vict85]

Con forme bilineari (simmetriche e definite positive) l'autore si riferisce al prodotto scalare, non alle forme differenziali (quelle a cui mi riferivo io sono peraltro antisimmetriche).

La proprietà di poter estrarre una base ortonormale da una qualsiasi base è una proprietà di ogni spazio euclideo e deriva dalle proprietà del prodotto scalare. Quindi dato una superficie è un punto in essa, puoi sempre prendere una base dello spazio vettoriale centrato nel punto tale che i primi \(n-1\) vettori della base siano inclusi nello spazio tangente a quel punto. A questo punto ortogonalizzi la base ricavando un vettore normale alla superficie. Il vettore non è necessariamente orientato positivamente, ma si può correggere facilmente il problema. Insomma basta moltiplicare il vettore per \(-1\).

Con il flusso attraverso una superficie si usa la direzione normale perché la componente tangenziale del vettore non contribuisce al flusso.