Re: Esempi per rendere commutativo il prodotto vettoriale attraverso la moltiplicazione tra matrici o una struttura ad hoc ?

Messaggioda francox » 19/12/2017, 00:34

Vorrei capire alcune cose

Un corpo in cui la moltiplicazione è commutativa è detto corpo commutativo, e più usualmente campo.


Quindi ne deduco che se il prodotto vettoriale fosse commutativo (parto da un'ipotesi falsa per trovare un canale operativo) allora l'oggetto primo che dovrei considerare è un campo o un 'corpo commutativo'.
Il prodotto vettoriale è stato definito invece partendo dal concetto di 'corpo' non commutativo, nel nostro caso si è partiti usando i quaternioni, introdotti dal nostro amico Hamilton, quindi la scelta è stata promossa per poter 'operare' e gestire il flusso' secondo una modalità ortogonale, ma si è dovuto introdurre un operatore di qualche tipo, una funzione scalare (è cosi?), con Hamilton è nato il concetto di prodotto vettoriale e scalare poi 'regolati' da Gibbs nel suo lavoro in Vector Analysis.

La nozione di campo, però, non gode di questo limite che invece il prodotto vettoriale rappresenta attraverso l'esistenza dell' elemento neutro del prodotto (operazione unaria), un vincolo (e quindi si pone costante - operazione nullaria) -> (proprio perchè è neutro garantisce un' invarianza) quindi, se non ho capito male, il prodotto vettoriale giustifica la sua anticommutatività in presenza di un anello unitario.

L'anello si dice unitario se esiste un elemento neutro del prodotto.


Quindi la 'colpa' dell'anticommutatività dovrebbe essere proprio l' elemento 'neutro'. L' anticommutatività del p.vettoriale è quindi una proprietà che si incarna attraverso l'inserimento di un elemento neutro: è come se per fare lo stesso collegamento tra 2 prese tu anzichè fare un nuovo collegamento usando un nuovo cavo, inverti semplicemente, il verso delle 2 spine (supponendo di avere un cavo maschio-maschio), 'fare un omomorfismo' è alla fine collegare gli oggetti tra di loro in questo modo, inutile rendere complicato un'azione attraverso una formula che rivela qualcosa di estremamente semplice che si potrebbe fare.

Alcune spine sono di tipo polarizzato, ossia hanno una distinzione tra fase e neutro, mentre altre, tra cui quella italiana, possono essere inserite in entrambi i sensi. L'inversione tra fase e neutro non comporta problemi se non in casi rarissimi


Non accontentiamoci

Il conduttore neutro è percorso da una corrente tale che la somma vettoriale di tutte le correnti è uguale a 0.


Quindi il gioco è tutto tra fase e neutro, in questo post non spiega bene tutto il mio ragionamento, anzi, fa il contrario
http://www.electroyou.it/forum/viewtopic.php?t=28520

Nel riferimento si parla anche di 'spine polarizzate', beh, ma il discorso non è lontano dalla depolarizzazione delle membrane plasmatiche
https://it.wikipedia.org/wiki/Depolarizzazione

Passare da un campo all'altro richiede per forza di cose usare la geometria differenziale, altrimenti è un casino trovare i collegamenti tra i diversi campi di studio.

Portando tutto a un significato fisico questo spiega l'esistenza degli interrutori e quindi del commutatore (una composizione di due elementi di una struttura algebrica, riferita ad una operazione binaria che fornisce un terzo elemento diverso dall'elemento neutro, quando i due elementi dati non soddisfano la proprietà commutativa) - dopotutto se accendiamo la luce con un' interrutore è proprio perchè c'è una precisa matematica sotto, passando all' elettricità e agli interrutori automatici, ai trigger (oscilloscopi), agli interrupt (pensiamo ai kernel in informatica) - non a caso segnali asincroni - sembra tutto scollegato, ma pensiamo allo Switch statement, tecnicamente è qualcosa che si può rappresentare mediante il formalismo di McCarthy e gli operatori μ (https://en.wikipedia.org/wiki/%CE%9C_operator), d'altronde se si usano i computer per 'analizzare' le misure e costruire la realtà attraverso il motore fisico nei laboratori allora perchè diavolo si parla di event generator ?

Ripeto: la matematica va 'letta' anche da un punto di vista piu pratico, altrimenti non si capisce che cosa fanno i fisici, non è che trovano i neutrini, li generano grazie a una base vettoriale che però potrebbe essere 'ritoccata' per generare nuove risposte, nuovi fenomeni.

è stato necessario spiegare la necessità

- di un flusso ortogonale
- prodotto vettoriale anticommutativo

Ma anche il prodotto tra i campi non è un campo, però se il campo elettrico e il campo magnetico vengono 'ortogonalizzati' (sono cioè ortogonali) allora noi possiamo continuare ad ottenere un campo. Il prodotto scalare allora nasce per svolgere questa funzione, determinare un flusso ortogonale rispetto alla superficie (altrimenti perchè rappresentare il prodotto scalare come integrale? qualcosa si deve 'mettere dentro' per ottenere fuori) perchè altrimenti non mi potrebbe restituire un campo perchè avremmo una costante che definisce un prodotto non-commutativo.

E qui ci si collega direttamente al concetto di 'grado di libertà' e vincoli, pensiamo a Pauli quando defini lo spin come

Nel 1924, Wolfgang Pauli (probabilmente il più influente fisico nella teoria dello spin) introdusse ciò che chiamò un "grado di libertà quantico a due valori" associato con gli elettroni del guscio esterno. Questo permise di formulare il principio di esclusione di Pauli, che stabiliva che due elettroni non possono condividere gli stessi valori quantici.


mm.. qui si collegherebbero alcune cose: l'ortogonalità è ad esempio la condizione per la polarizzazione della radiazione elettromagnetica, condizione necessaria anche per realizzare il cosidetto 'allineamento degli spin' attraverso un impulso. L'impulso è definito come un'integrale, l'integrale è connessione fisica, come collegare una presa, matematicamente viene rappresentato come un prodotto scalare.
L' ortogonalità è qualcosa che però serve piu ai fisici che a me.
Quello che non mi è proprio chiarissimo è la connessione tra l'ortogonalità del flusso e il concetto di campo, si trova poi il gruppo ortogonale i cui elementi sono delle rotazioni. Boh, sono un po disorientato, non credo che a me servono gli elementi del gruppo, ma forse un un' operatore scalare.
Gli scalari, però, sono numeri reali, il cui insieme è un campo, quindi se volessi ottenere un flusso non-ortogonale dovrei partire da qui, ci riflettero.
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Re: Esempi per rendere commutativo il prodotto vettoriale attraverso la moltiplicazione tra matrici o una struttura ad hoc ?

Messaggioda vict85 » 20/12/2017, 12:39

Dovresti imparare a leggere bene le definizioni prima di metterti a divagare per un'ora.

Un anello è una tripletta \(\displaystyle (A, +,\,\cdot\,) \) dove \(A\) è un insieme e \(\displaystyle +\colon A\times A\to A \) e \(\displaystyle \cdot\colon A\times A\to A \) sono due operazioni binarie tali che:
  1. \((A,+)\) è un gruppo abeliano. Ovvero \(\displaystyle + \) è associativa, commutativa, ha un elemento neutro e ogni elemento di \(\displaystyle A \) possiede un inverso (generalmente denotato come \(\displaystyle -a \));
  2. la moltiplicazione \(\displaystyle \cdot \) gode della proprietà associativa;
  3. la moltiplicazione \(\displaystyle \cdot \) gode della proprietà distributiva rispetto alla somma. Ovvero \(\displaystyle a(b+c) = ab+ac \) e \(\displaystyle (b+c)a = ba+ca \) per ogni \(\displaystyle a,b,c\in A \).

L'insieme \(\displaystyle (V,+, \times) \) soddisfa il punto 1 e il punto 3, ma non il punto 2.

Nota che un corpo è un anello unitario in cui ogni elemento possiede un inverso moltiplicativo. il prodotto vettoriale non possiede alcun elemento neutro, quindi, a maggior ragione, non possono esistere inversi moltiplicativi rispetto a questo prodotto.

Il tuo commento sul legame tra anticommutatività e la presenza, o meno, di un elemento neutro è senza alcun senso. Insomma, quasi tutti gli anelli con cui i matematici lavorano sono unitari. I quaternioni ce l'hanno! Non è altro che 1.

Tra l'altro Hamilton non si faceva certo problemi con l'antisimmetria data la struttura simplettica dei sistemi Hamiltoniani.
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Re: Esempi per rendere commutativo il prodotto vettoriale attraverso la moltiplicazione tra matrici o una struttura ad hoc ?

Messaggioda francox » 22/04/2018, 02:13

Vorrei darti ragione, ma vorrei spiegarti perchè ho ragione io.

il prodotto vettoriale non possiede alcun elemento neutro


mm.. che mi dici allora a proposito del ring action, cioè dell' azione dell'anello oppure dei $G$-Modules ?
Ti sei dimenticato la definizione fondamentale che sta dietro al vettore stesso

una norma è una funzione che assegna ad ogni vettore di uno spazio vettoriale, tranne lo zero, una lunghezza positiva

e quindi credo ti dimentichi che il verso opposto del vettore b * a = -a * b usando la regola della mano destra non fa del prodotto vettoriale anti-commutativo, non mi è sufficiente l'informazione perchè in matematica si parla di funzioni, lavoriamo su, da e per un piano diverso, non si può imporre una base fisica se facciamo matematica perchè i vettori agiscono da un piano non-fisico, superiore, quindi se il prodotto vettoriale è anti-commutativo non è affatto ovvio che lo siano nel piano dove agiscono: sono cosi nel piano.. fisico, non nel piano matematico.

Come rappresentazione vettoriale 'fisica' hai ragione tu, anche se tu mi scrivi b x a = -a x b mi fai vedere una formula 'fisica', grafica, non mi stai dimostrando la funzione matematica, mi stai solo 'mostrando' o dimostrando che è cosi sul piano fisico.
Ma se tu cambi la stessa rappresentazione dei vettori e quindi del prodotto vettoriale troverai che sottende una proprietà diversa, matematicamente ti renderai conto che non è piu anti-commutativo, ma fisicamente sei costretto a mostrare il contrario: è come lo specchio di Alice: riflette e ti fa vedere la tua immagine, ma se non lo attraversi non saprai mai che è una porta !
Quindi ciò che separa il piano matematico dal piano fisico è proprio la definizione di azione, in senso, però.. matematico! vedi qui

La proprietà commutativa non è una verità, ma un' identità, nel caso specifico non è il verso che 'fa' la proprietà di un vettore, ma è la norma del vettore, cioè il suo modulo.. bisogna ragionare per funzioni, non per 'visuali' del tipo b x a = -a x b.
Il vettore agisce nel piano matematico in un certo verso.. e si parla di versore.. ma nel piano fisico il vettore viene 'scalato' si riduce a 'verso' o direzione fisica..cose che in matematica invece possono assumere migliaia di altre forme - ti sembra dunque logico usare la regola della mano destra ??
Quella serviva a Fleming per i suoi lavori da ingegnere ! Non puoi ridurre la matematica sul piano dell' ingegnere, l'ingegnere la usa per i suoi scopi, ma il matematico deve fare matematica, non ingegneria.

Quel - dimostra che è anti-commutativa fuori dalla struttura vettoriale, nella riduzione sul piano fisico appunto, ma non è cosi dentro la struttura perchè dentro è funzione, è norma agisce come piano matematico.

Io parto rappresentando i vettori come moduli, dai group action, dal quoziente dell'azione (spazio dei coinvarianti), non parto nemmeno dagli insiemi perchè non ha senso tornare alle definizioni primitive e già qua.. si capisce che c'è qualcosa che non torna nella dimostrazione 'grafica' palese della 'regola della mano destra': il fatto che mi dimostrino una cosa come 'vera', non per questo io ci devo credere come tale perchè

1. partendo dalle strutture primitive e povere porto a irrigidire le definizioni
2. partendo da strutture o rappresentazioni piu ricche, riesco ad estrarre dallo sfondo, dal background, la proprietà matematica, non la versione 'fisica' adattata dai matematici per gli ingegneri e per i fisici.. eh no!

devo verificarlo di persona nel piano matematico e l'anticommutatività del prodotto vettoriale nel piano matematico non è anti-commutativa perchè tu me lo hai dimostrato nel piano fisico! No.
A me, invece torna che la proprietà commutativa è intrinseca del prodotto vettoriale.

Come azione, vedi qui a me la proprietà anti-commutativa non torna.
La commutatività del prodotto vettoriale, invece, credo sia nella sua rappresentazione implicita come funzione matematica ma fisicamente invisibile non nella sua dimostrazione come informazione fisica o matematicamente visibile, perchè è come confondere funzione matematica con informazione fisica.

P.S :: ricordo comunque che l'informazione fisica è sempre una misura matematica https://it.wikipedia.org/wiki/Misura_(matematica)..

anche quello che sto scrivendo direttamente qui, le 'parole', le frasi, le congiunzioni che vedi sono una misura, poi sta a te matematico trasformarle e usare le parole stesse come operatori, come insiemi, come quozienti. Devi dirmi tu come farlo, però ! non abbassarti a fare misure fisiche perchè quello lo deve fare il fisico, il matematico lavora su un piano piu alto e quindi riflette azioni diverse perchè il piano da cui lavora non riflette nello stessa maniera (perchè è diversa la sua funzione rispetto al fisico)
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Re: Esempi per rendere commutativo il prodotto vettoriale attraverso la moltiplicazione tra matrici o una struttura ad hoc ?

Messaggioda francox » 22/04/2018, 15:44

Ora ti mostro la ragione per cui il prodotto vettoriale non è anti-commutativo come verità, ma come identità. Vedrai, se hai occhi per vedere oltre il piano fisico della dimostrazione (sei un matematico!) che il verso del vettore non cambia perchè ciò che cambia è la norma, cioè la funzione del vettore, questo, però, si riflette come proprietà anti-commutativa, nel piano fisico, ma nel piano matematico, questa proprietà cambia la norma del vettore - che però tu, matematico, non riesci a vedere !!
Porca paletta, guarda oltre la consistenza gelatinosa dei nostri occhi bovini !

Il verso fisico non cambia veramente, perchè in verità il vettore ne inflette la norma (il versore credo che agisca come punto di inflessione), generando sul piano fisico, però, un verso opposto.

Si, questo non vuol dire che il prodotto vettoriale sia commutativo per definizione, però, posso dire che non è vero per definizione l'anti-commutatività.

Per capirlo, però, bisogna lavorare proprio con le forme bilineari.. Ti cito la risposta di un utente nel contesto delle isometrie (nel caso particolare si parlava di riflessioni) che ho usato applicandola nel contesto della natura del prodotto vettoriale..

When you look in the mirror, things on one side of the mirror appear as if they were on the other side (so they seem to have "moved"), but the surface of the mirror itself appears to remain fixed ("unmoved"). Such is the nature of a reflection transformation on an affine space


Questo è quello che è stato fatto quando si ha definito l'anticommutazione come proprietà (la proprietà è una relazione unaria).
L'anti-commutazione è una proiezione (agisce come prodotto vettoriale), l'anti-commutatore (operatore) agisce come proiettore

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Re: Esempi per rendere commutativo il prodotto vettoriale attraverso la moltiplicazione tra matrici o una struttura ad hoc ?

Messaggioda gugo82 » 22/04/2018, 16:18

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