generatori

[algibro]

Mi si chiede "quanti generatori ha un gruppo ciclico di ordine $n$ ?". La vaghezza¹ della domanda mi ha messo in difficoltà.
Sia $(G, *)$ un gruppo ciclico di ordine $n$.
Allora so che esiste un elemento $a \in G$ tale che il sottogruppo $(a)={a^i:i \in ZZ}$ coincide con $G$
Inoltre $o(a)$ deve essere $n$ e $a^n=e$
Ogni elemento $b \in G$ non è un generatore se esiste un intero positivo $q$ minore di $n$ tale che $b^q=e$
E $b=a^h$ per un certo intero $h$, dunque $b^q=a^{hq}=a^0$.
A questo punto, essendo $G$ ciclico e potendo quindi generare un sottogruppo con ogni suo elemento, posso dire con certezza, riferendomi a Lagrange, che tutti gli elementi aventi ordine un intero divisore di $n$ e minore di $n$ non sono generatori di $G$.
Di riflesso tutti gli elementi aventi ordine $n$ sono generatori.
Però mi sembra di aver scritto solo ovvietà. Altro che mi sfugge ?

Altra questione che mi assilla è quella di comprendere se esiste un criterio per stabilire se il gruppo moltiplicativo delle classi di resto modulo $m$ è un gruppo ciclico.
Ovviamente se l'ordine di tale gruppo è un numero primo ciò è immediato perché detto non ammetterebbe sottogruppi non banali, ma ciò richiederebbe che gli interi $m$ e $m-1$ siano primi, il che credo sia piuttosto improbabile. (dato $a \in U(ZZ_m)$, $a^{\varphi(m)}=a^{m-1}=1_m$ e così l'ordine di $a_m$ è $m-1$ e ogni elemento è un generatore).
Esiste un criterio ? Almeno una congettura ?

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Note

1. Ad esempio, nello specifico, so che il gruppo $(ZZ,+)$ è generato da $-1$ e $1$, $(ZZ_m, +)$ da tutti gli elementi $a_m \in ZZ_m$ tali che $(a,m)=1$ ↑

[killing_buddha]

Mi si chiede "quanti generatori ha un gruppo ciclico di ordine $n$ ?"

Un gruppo $G$ ha $g$ per generatore se e solo se $g$ ha ordine coprimo con $|G|=n$. Quindi ci sono esattamente $\varphi(n)$ generatori per $G$; ora, dato $n$ c'è un modo di calcolare $\varphi(n)$ perché $\varphi(.)$ è moltiplicativa e si sa quanto vale sulle potenze di primi.

ciò richiederebbe che gli interi $m$ e $m-1$ siano primi, il che credo sia piuttosto improbabile.

Infatti è impossibile; se $m\ge 1$ almeno uno tra $m,m-1$ è pari, sicché non è primo.

[algibro]

Un gruppo $G$ ha $g$ per generatore se e solo se $g$ ha ordine coprimo con $|G|=n$. Quindi ci sono esattamente $\varphi(n)$ generatori per $G$; ora, dato $n$ c'è un modo di calcolare $\varphi(n)$ perché $\varphi(.)$ è moltiplicativa e si sa quanto vale sulle potenze di primi.

Ok, ti ringrazio molto. Provo a riepilogare per verifica.
Ho $n$ elementi in $G$ ciclico, quindi il gruppo può essere scritto come $G={a^0, a, a^2,..., a^{n-1}}$
Ora un elemento $a^i \in G$ è un generatore di $G$ se tutti gli elementi di $G$ sono esprimibili come potenze $(a^i)^k$ per $k$ intero, il che significa imporre $ik \equiv 1 (mod n)$ ovvero che sia $(i,n)=1$.
Per vederla in un altro modo possiamo dire che sono generatori di un gruppo ciclico moltiplicativo tutti gli elementi le cui potenze sono gli "elementi" che generano $(ZZ_n,+)$ e che sappiamo essere $\varphi(n)$, giusto ?