Spettro di anelli

[ludovica_97]

Buongiorno,
ho il seguente esercizio:
"sia $f:A->B$ un omorfismo di anelli commutativi. Dimostare che $f^*:Spec(B) -> Spec(A) $ data da $f^*(p)=f^(-1)(p)$ e' continua per la topologia di Zarinsky.
Io ho ragionato in questo modo:
so che una funzione e' continua se per ogni chiuso U in Spec(A), $f^*^(-1)(p))$ e' chiuso in Spec(B)
Prendo S chiuso in Spec(A), questo vuol dire che $S⊂p$ con p ideale primo di Spec(A)
Devo controllare, sapendo che vale questa cosa $f^*(p)=f^(-1)(p)$, che $f(S)⊂Spec(B)$ ossia che f(S) e' un ideale primo di Spec(B)
A questo punto non so piu' come procedere

[killing_buddha]

Una funzione è continua se lo è su una base.

[Stickelberger]

Prendo S chiuso in Spec(A), questo vuol dire che S⊂p con p ideale primo di Spec(A)

intendi $\ldots$ questo vuol dire che $S$ consiste negli ideali primi che contengono
un certo sottoinsieme $X\subset A$.

Scrivere $S\subset p$ non ha senso. Caso mai $p\in S$.

[ludovica_97]

Prendo S chiuso in Spec(A), questo vuol dire che S⊂p con p ideale primo di Spec(A)

intendi $\ldots$ questo vuol dire che $S$ consiste negli ideali primi che contengono
un certo sottoinsieme $X\subset A$.

Scrivere $S\subset p$ non ha senso. Caso mai $p\in S$.

No intendo proprio che S sia contenuto in ogni ideale

[ludovica_97]

Credo di essere arrivata ad una soluzione, riparto da capo.
Come gia' detto, quella funzione e' continua se per ogni chiuso $U\in Spec(A)$, $f(u)$ e' un chiuso in $Spec(B)$ ($f(U)=(f^-1)*(U))$
A questo punto prendo un chiuso in $Spec(A)$ e sapendo che i chiusi qui dentro sono della forma $Z(S)={p\in Spec(A)$ ideali primi tali che $S⊂p}$ il mio U corrisponde a Z(S) per qualche S. Devo far vedere che $f(Z(S))$ e' un chiuso in $Spec(B)$.
Anche i chiusi di $Spec(B)$ sono della forma $Z(S')={p'\in Spec(B)$ ideali primi tali che $S'⊂p'}$ quindi devo dimostrare che esiste $S'⊂p'$ dove $p'=f(p)$ per ogni primo p in Z(S).
Suppongo che non sia cosi, allora l'intersezione in tutti questi p' sarebbe vuota.
$∩_i (p_i)'= ∅$ Ne segue che tornando indietro avrei $ ∅=f^(-1)(∩_i (p_i)'=∩_i(f^(-1) (p_i)')=∩_i (p_i)= S= ∅$ Assurdo.

[Stickelberger]

Ogni ideale contiene lo zero. Intersezioni di ideali non sono mai vuote.

Supporre che non esista $S'$ (non vuoto intendi?) non ha senso,
perche' l'insieme $\{0\}$ e' contenuto in ogni ideale primo.

Nella domanda originale scrivevi $f^*$ per la mappa fra gli Spec.
Il puntino quasi non si vede . Infatti, adesso non si vede piu',
perche' scrivi $f(p)$ invece di $f^*(p)$.

Forse megli usare $f^{\ast}(p)$? Cioe', usare "\ast" invece di "*".
Forse aiuta distinguere fra le due mappe.

[ludovica_97]

Nella domanda originale scrivevi $f^*$ per la mappa fra gli Spec.
Il puntino quasi non si vede . Infatti, adesso non si vede piu',
perche' scrivi $f(p)$ invece di $f^*(p)$.

In realta' non si vede piu' perche' per ipotesi avevo che $f^{\ast}(p)= f^(-1)$ e quindi ho deciso di usare direttamente $f$

Sapresti darmi qualche suggerimento su come andare avanti allora?

[Stickelberger]

avevo che $f^{\ast}(p)=f^{-1}$ e quindi ho deciso di usare direttamente f

Ma ...? Cosa vuol dire che $f^{\ast}(p)=f^{-1}$? Intendi $f^{-1}(p)$? E perche' vuoi usare $f$?

$f^{-1}(p)$ e' l'insieme degli elementi $x$ nel dominio di $f$ che hanno $f(x)$ in $p$.
Invece, $f(p)$ indica l'immagine di $p$ ed e' un sottoinsieme del codominio.
Nel tuo caso, scrivere $f(p)$ non ha senso, perche' $f$ va da $A$ in $B$,
mentre $p$ e' un ideale di $B$.

Se vuoi comunicare con altri, forse e' meglio usare le notazioni standard.

[ludovica_97]

Ma questo e' una proprieta' che mi viene data nel testo dell'esercizio, non ho usato notazioni particolari io

[ludovica_97]

Comunque potresti suggerirmi la tua soluzione??