Riporto qui la mia dimostrazione di questa proposizione che mi pare corretta ma potrei sbagliarmi...
Cio che devo mostrare è
Sia $f:A->B$ un omomorfismo di anelli commutativi. Dimostrare che la mappa $f^(\ast):\text(Spec)(B)->\text(Spec)(A)$ data da $f^(\ast)(\mathfrak(p)):=f^(−1)(\mathfrak(p))$ è continua per la topologia di Zariski.
DIMOSTRAZIONE
La funzione $f^(\ast)$ è continua se e solo se $\forall C$ chiuso in $\text(Spec)(A)(f^(\ast))^(-1)(C)$ è un chiuso di $\text(Spec)(A)$. Poiché $C$ è un chiuso di $\text(Spec)(A)$ vuol dire che è della forma $Z(S)={\mathfrak(p)\in\text(Spec)(A): S\subseteq\mathfrak(p)}$ ove $S$ è un sottoinsieme di $A$ (detto $I$ l'ideale generato da $S$ si ha $Z(S)=Z(I)$).
Quindi $(f^(\ast))^(-1)(C)=(f^(\ast))^(-1)(Z(I))=(f^(-1))^(-1)(Z(I))=f(Z(I))$. Poiché la controimmagine di un ideale primo attraverso un omomorfismo tra anelli è un ideale primo ho che $f(Z(I))\subseteq\text(Spec)(B)$. Se, per assurdo, non esiste $S'\subsetB:f(Z(I))=Z(S')$ allora $nnn_{\mathfrak(p)'\inf(Z(S'))}\mathfrak(p)'=O/$ quindi $O/=f^(-1)(nnn_{\mathfrak(p)'\inf(Z(S'))}\mathfrak(p)')=nnn_{\mathfrak(p)'\inf(Z(S'))}f^(-1)(\mathfrak(p)')=nnn_{\mathfrak(p)\inf(Z(I))}\mathfrak(p)=I$, assurdo.
