Operazioni su Z6

[a.laterra]

Salve, ho difficoltà a svolgere gli esercizi sui gruppi
ad esempio:

Sia l'operazione su \(\displaystyle \mathbb{Z}_6 \) tale che:

\(\displaystyle \forall \mathrm{h,k}\in \mathbb{Z} \;\;\; [\mathrm{h}]_6 \ast[\mathrm{k}]_6 = [3\mathrm{h} + \mathrm{k}]_6 \)

si stabilisca se \(\displaystyle \ast \) è commutativa, associativa, dotata di elemento neutro.
L'insieme \(\displaystyle \mathrm{X} = \{[0]_6,[1]_6\}\) è chiuso per \(\displaystyle \ast \)?

io l'ho iniziato a svolgere così:

Associatività:
\(\displaystyle 3a\ast(b+c)=3a+(b+c) = 3a+b+c \)
\(\displaystyle (3a+b)\ast c = (3a+b) + c= 3a+b+c \)

quindi dovrebbe essere associativa, ma non sono sicuro che sia giusto ne se ho fatto bene.
Potete aiutarmi a capire come svolgere questo tipo di esercizi? Grazie in anticipo a tutti!

[killing_buddha]

Inizierei col dimostrare che l'operazione è davvero una operazione, ossia che definisce davvero una funzione \(\mathbb Z_6\times\mathbb Z_6\to\mathbb Z_6\); chiaramente non è commutativa: \([3\cdot 0+1]\neq [3\cdot 1+0]\); affinché sia associativa deve essere vero che \([3a+b]*[c]=[a]*[3b+c]\): questo è vero.

[a.laterra]

Innanzitutto grazie per la risposta molto veloce

Inizierei col dimostrare che l'operazione è davvero una operazione, ossia che definisce davvero una funzione \(\mathbb Z_6\times\mathbb Z_6\to\mathbb Z_6\);

per fare verificare che definisce una funzione basta verificare che valga almeno una proprietà? es. associativa?

chiaramente non è commutativa: \([3\cdot 0+1]\neq [3\cdot 1+0]\);

ho capito perfettamente ciò che hai fatto

affinché sia associativa deve essere vero che \([3a+b]*[c]=[a]*[3b+c]\): questo è vero.

quindi ciò che avevo fatto io era sbagliato? o comunque il procedimento è lo stesso?