Dimostrazione proprietà esponenziali per il modulo

[jack22]

Salve,
ho trovato su Khan Academy (link) questa proprietà:

\(\displaystyle A^B \; \text{mod} \; C = ( (A \; \text{mod} \; C)^B ) \; \text{mod} \; C \)

Mi chiedevo come si potesse dimostrare. Mi viene in mente di scrivere:
\(\displaystyle A = C \cdot m + r \) con \( 0 \le r < C\)
E quindi:
\(\displaystyle A \; \text{mod} \; C = r \)
\(\displaystyle A^B = (C \cdot m + r)^B = \sum\limits_{k=0}^B \binom{B}{k} (C \cdot m)^k r^{B-k}\)
E moh

[killing_buddha]

Assumendo che $A,B,C$ siano interi (cos'altro potrebbero essere? E del resto tu non lo dici), $A^B = \prod_{i=1}^B A$ cosicché (ricordando che $X \equiv Y \mod Z$ significa che la classe di $X\in ZZ$ in $C_Z$ (il gruppo ciclico con $Z$ elementi) è $Y$) si ha \(\prod_{i=1}^B A \pmod C= \prod_{i=1}^B (A\mod C)\).

[jack22]

si ha \(\prod_{i=1}^B A \pmod C= \prod_{i=1}^B (A\mod C)\).

Ti ringrazio per la risposta, ma non ho affatto capito il passaggio di cui sopra