Estensioni di Galois

[evaristegalois1]

Salve, volevo porvi un quesito.
Secondo voi, un'estensione di campi di grado 2 è sicuramente un'estensione di Galois?

[zariski]

A quanto pare cio' e' vero se la caratteristica di $K$ e' diversa da $2$.
https://math.stackexchange.com/questions/282249/extensions-of-degree-two-are-galois-extensions

[evaristegalois1]

Si questo sicuramente..In generale però non è detto, no?
Mi era venuto un dubbio nel pensare ad un polinomio irriducibile di grado due che avesse una sola radice in un campo (ovviamente non nei complessi, ma in campi più piccoli)
Riesci a farmi un esempio?

[zariski]

Leggi il link che ti ho mandato, li' spiega bene la cosa.
Comunque sempre dove ti ho linkato come controesempio viene proposto il campo $F[\sqrt{a}]$ con $a \in F$ non un quadrato. Il suo polinomio minimo e' $x^2-a=(x+\sqrt{a})^2 \in F[x]$ ($F$ ha caratteristica $2$!), quindi l'estensione non e' separabile e quindi non puo' essere di Galois.

Pero' e' anche vero che se la carattestica e' $2$ non e' detto che non ci possano essere estensioni di grado $2$.

Anche io sto studiando queste cose attualmente quindi potrei aver interpretato male il link (non e' roba ovvia o banale per me).