Ora comincerò a rompere anche qui con le dimostrazioni
C’è questo teorema che volevo sapere se ho dimostrato correttamente.
sia $(G,times)$ un gruppo.
Se $G$ è ciclico allora $forallHleqG,H$ è ciclico.
Chiaramente se $H={e}$ o $H=G$ è banalmente vero.
Se $H$ è un sottogruppo non banale, allora consideriamo questo.
Sia per ipotesi $existsg inG:<g> =G$ pertanto
$(forallx inH=>x inG)=>existsk inZZ:x=g^k$
Inoltre poiché $H$ è sottogruppo allora $g^(-k)inH$ questo ci suggerisce che esista la quantità $m=min{k inNN:g^k inH}$
Vogliamo mostrare che $H=<g^m>$
Chiaramente se $x in <g^m> => x inH$ poiché $x=(g^m)^q$ ma $g^m inH$ e $H$ è sottogruppo pertanto anche $(g^m)^q$ gli appartiene.
Viceversa se $x inH$ allora per quanto visto $existst inZ:g^t=x$ allora dividendo $t$ per $m$ si ha
$x=g^t=g^(mq+r)=g^(mq)timesg^r,0leqrleqm-1$
Ora poiché $g^(mq)timesg^r inH$ e $g^(mq) inH$ deve essere $g^r inH$ ma $r<m$ pertanto deve essere $r=0$
Si può vedere meglio considerando $g^t times g^(-mq)=g^r$
Visto che entrambi gli elementi appartengono ad $H$ e visto che $H$ è gruppo anche $g^r$ deve appartenergli, pertanto anche quì deve essere $r=0$
Is it correct?