Shocker ha scritto:algibro ha scritto:Riscrivo la dimostrazione provando un'altra strada .
Così, siccome $ m $ è per ipotesi un intero positivo, ci sono due possibilità per $ r $:
1) $ r=h $ ma ciò contraddice $ r < h $ dalla divisione euclidea;
2) $ r=0 $ da cui $ g^k = g^{hq} = (g^h)^q \in H $
Non ho capito queste tre righe.
Mi sa che farneticavo...
Shocker ha scritto:algibro ha scritto:E poi scusate, ma se $ h < k $ e $ hm, km $ sono due periodi di $ g $, deve essere $ hm|km \Rightarrow km=hmq \Rightarrow k=hq $, no ?
Detta così è falsa: prendi $g$ di ordine $6$. Allora $g^12 = g^18 = e$ ma $12$ non divide $18$.
Maledizione ! Ciò che ho scritto è vero solamente se il primo dei due periodi è anche l'ordine di $h$ !!!
Più in generale se $o(a)=n$ e $a^k=e$ allora $n|k$ (1).
Nel nostro caso abbiamo che $o(g)=n$ e $g^{hm}=h^{km}=e$. Allora $n|hm$ e $n|km$.
Shocker ha scritto:algibro ha scritto: $n | mk - mh = m(h-k) \Rightarrow $scusate da qui in poi mi sa che ho scritto una cavolata, adesso ci penso su $ h \equiv k (mod n) $
In generale questo è falso, quello che puoi dire è che $h \equiv k mod (\frac{n}{(n, m)})$, in questo caso $(n, m) = m$ perché $m | n$.
Ok, vediamo se ho capito perché $m|n$.
Per le ipotesi $o(g^k)=m$. Inoltre $e=g^n=(g^n)^k=g^{nk}=(g^k)^n$. Allora per quanto detto in (1) abbiamo che $m|n$.
Shocker ha scritto:Comunque ci siamo quasi: se $k \equiv h \equiv 0 \mod(\frac{n}{m})$(è chiaro perché è zero, no?) allora sono entrambi multipli di $\frac{n}{m}$. Sarebbe interessante scoprire che ordine ha $g^\frac{n}{m}$.
Se $g^{km}=e=g^0$. Allora $km \equiv 0 (mod n) \Rightarrow km=nq \Rightarrow k=\frac{n}{m}q \Rightarrow k \equiv 0 (mod \frac{n}{m})$.
Stesso discorso per $h$, d'altra parte se $hm, km$ sono due potenze che applicate a $g$ restituiscono l'elemento neutro, allora entrambe saranno nella classe di resto zero modulo l'ordine di $G$.
L'ordine di $g^\frac{n}{m}$ è $m$, infatti $(g^\frac{n}{m})^m=e$.
In conclusione posso considerare $\langle$ $g^\frac{n}{m}$ $\rangle$, il sottogruppo di $G$ generato da $g^\frac{n}{m}$.
Ora, ogni potenza di $(g^h)$ e di $(g^k)$ è della forma $(g^\frac{n}{m})^t$ per $t \in ZZ$, dunque
$H=\langle$ $g^\frac{n}{m}$ $\rangle = K$
Spero più o meno di esserci, sono argomenti che si affrontano facilmente, ma altrettanto facilmente mi ci perdo.