Relazione d’ordine

[GualtieroMalghesi]

Sia A l’insieme dei sottomultipli di 60. In A è definita la relazione:
 
$xRy$ $rArr$ $x$ è multiplo di $y$
 
Si verifichi che è una relazione di ordine largo, Si rappresenti con un diagramma a frecce. È una relazione di ordine totale?
 
L’insieme $A$ dei sottomultipli di 60 ha come elementi:
 
$A={1;2;3;4;5;6;10;12;15;20;30;60}$
 
Se $x$ è multiplo di $y$ $x=k*y$ $k$ $in$ $NN$
 
Il prodotto cartesiano della relazione sarà:
 
$R={(1,1);(2,1);(3,1);(4,1);(5,1);(6,1);(10,1);(12,1);(15,1);(20,1);(30,1);(2,2);(3,3);(4,2);(4,4); (5,5);(6,2);(6,3);(6,6);(10,2);(10,5);(10,10);(12,2);(12,3);(12,4);(12,6);(12,12);(15,3);(15,5);(20,2); (20,4);(20,5);(20,10);(30,2),(30,5);(30,6);(30,10);(30,15);(30,30);(60,2);(60,2);(60,3);(60,4);(60,5); (60,6);(60,10);(60,15);(60,20);(60,30);(60,60)}$
 
Omettendo il grafico a frecce, la relazione gode delle seguenti proprietà:
 
Riflessiva.
$xRx$ $aa$ $x$ $in$ $A$
$1R1$ $(1,1)$ $in$ $A$
Antisimmetrica.
$xRy$ $vv$ $x$ $!=$ $y$ $=>$ $y$ non è in relazione con $x$
$aa$ $x,y$ $in$ $A$
$2R1$ $vv$ $2$ $!=$ $1$ $=>$ $1$ non è in relazione con $2$
$(2,1)$ $in$ $R$ $(1,2)$ $notinn$ $R$
Transitiva.
$xRy$ $vv$ $yRz$ $=>$ $xRz$ $aa$ $x,y,z$ $in$ $A$
$20R4$ $vv$ $4R2$ $=>$ $20R2$
$(20,4)$ $in$ $R$ $(4,2)$ $in$ $R$ $(20,2)$ $in$ $R$

È una relazione di ordine largo (riflessiva)
Potreste spiegarmi perché non è totale? Ho qualche problema a comprendere quando è totale o parziale.
Grazie.

[Ernesto01]

A me sembra che hai approciato male il problema, scrivendo tutto a mano.
Hai dimostrato le proprietà della relazione soltanto per dei casi particolari, dovresti dimostrarlo per ogni $x,y$.
Supponiamo che per sottomultipli si intendano quelli positivi, come hai supposto anche te. (in realtà cambia ben poco)

Per esempio

Riflessiva
$xRx$ per ogni $x in A$, infatti ogni numero è multiplo di sè stesso
Antisimmetrica
per ogni $x,y in A$, $xRy$ e $x!=y$ $=>$ $not yRx$, infatti se $x$ è multiplo di $y$ e sono due numeri diversi allora $x<y$, ma allora $y$ non può essere multiplo di $x$.
La transitiva prova a farla te.

Per la relazione di ordine parziale/totale è semplice:
$5,6 in A$ ma $not 5R6$ e $not6R5$, quindi non è totale.

[GualtieroMalghesi]

Transitiva.
$xRy$ $vv$ $yRz$ $=>$ $xRz$ Se $x$ è multiplo di $y$ e $y$ è multiplo di $z$ allora anche $x$ è multiplo di $z$.

Per quanto riguarda le dimostrazioni, ho voluto soltanto prendere come esempio alcuni casi per dimostrare la definizione in generale.

Cosa intendi quando dici che ho scritto tutto a mano? Cosa sbaglio?
Grazie infinite per l’aiuto, buna giornata.

[GualtieroMalghesi]

* $^^$ ho sbagliato simbolo

[Ernesto01]

Si va bene la transitività.
No cioè non è sbagliato! Avevo capito che avessi scritto il prodotto cartesiano "a mano" con l'intenzione di andare a verificare $xRy$ per 36 combinazioni diverse e poi dimostrare le varie proprietà. Poi ho visto che hai provato a dimostrare le cose con esempi, solo per questo motivo ho detto che l'approccio era sbagliato.

[axpgn]

@GualtieroMalghesi
Perché hai aperto un post identico all'altro? Pensavi che le risposte sarebbero state diverse?

[GualtieroMalghesi]

@GualtieroMalghesi
Perché hai aperto un post identico all'altro? Pensavi che le risposte sarebbero state diverse?

No, ho solamente sentito un’altra campana. Questo non significa che non mi fidavo della tua risposta, anzi, sei stato molto chiaro e disponibile, e per questo ti ringrazio tantissimo. Ho l’abitudine di sentire diversi pareri, diverse risposte; ho pure visionato diversi libri di testo di matematica, e non ti dico le ricerche che ho fatto su internet. Sembra che questo argomento mi stia mettendo a dura prova. Fino ad ora le relazioni sono un tema che faccio fatica a capire.
Comunque senza rancore, grazie ancora per l’aiuto.

[GualtieroMalghesi]

Si va bene la transitività.
No cioè non è sbagliato! Avevo capito che avessi scritto il prodotto cartesiano "a mano" con l'intenzione di andare a verificare $xRy$ per 36 combinazioni diverse e poi dimostrare le varie proprietà. Poi ho visto che hai provato a dimostrare le cose con esempi, solo per questo motivo ho detto che l'approccio era sbagliato.

Sono stato obbligato a scrivere il prodotto cartesiano, perché nel testo dell’esercizio viene chiesto di rappresentare la relazione con il diagramma a frecce. Ho voluto riportare degli esempi solamente per dimostrare la validità della dimostrazione generale; francamente non mi sembra che ci sia nulla di errato, ma se secondo il tuo, vostro parere sbaglio, vorrei capire dov’è l’errore.
Grazie a tutti e buona serata.

[axpgn]

@GualtieroMalghesi
Forse ti sfugge il fatto che il crossposting è vietato (com'è ovvio che sia)

Ho proseguito di là...