Parte stabile generata.

[galles90]

Buongiorno,

Sul mio libro viene enucciata la seguene proposizione:

B. La parte stabile generata da \(\displaystyle X \subseteq S \) è rispetto all'inclusione la minima parte stabile di \(\displaystyle S \) contenente \(\displaystyle X \).

Dim. Ne segue dal punto A.


A.) Siano \(\displaystyle \beta \) una legge interna ad \(\displaystyle S \) ed \(\displaystyle X \) una parte di \(\displaystyle S \). Una parte \(\displaystyle V \) di \(\displaystyle S \) concide con la parte stabile \(\displaystyle X' \) generata da \(\displaystyle X \) se e solo se:
1) \(\displaystyle V \) è stabile
2) \(\displaystyle V \) include \(\displaystyle X \)
3) \(\displaystyle V \) è contenuta in ogni parte includente \(\displaystyle X \).

La dimostrazione del punto A. mi è chiara, quindi se volessi dimostrare il punto B. mi occorre far vedere che preso un insieme \(\displaystyle V \) che soddisfi il punto A. e da qui dire che hanno la stessa cardinalita, però mi sembra un pò strana questa affermazione che ho fatto.



ciao.

[killing_buddha]

"parte stabile"? "legge interna"?

Probabilmente quello che vuoi dire è che $S$ è un modello di una certa teoria, o detta altrimenti (con una nomenclatura, più moderna della tua, che però è già quantomeno giurassica) un membro di una varietà di algebre per una segnatura $\Sigma$ su un certo linguaggio $\mathcal L$.

Ora vuoi dimostrare questo fatto: se $X\subseteq S$ è un sottoinsieme, posso considerare \(\langle X\rangle\), la minima sotto-struttura di $S$ contenente $X$. Questo segue dal fatto che (come dice il tuo punto A) \(\langle X\rangle\) è esattamente l'intersezione
\[
\bigcap \{Z\mid Z\le S, \; X\subseteq Z\}
\] (il motivo per cui questo vale sta nella forma delle equazioni che definiscono la varietà: le quantificazioni universali sono chiuse per intersezioni arbitrarie).

[galles90]

Grazie per la risposta ,mi è quasi tutto chiaro ! Solo l'ultima parte di questa affermazione che hai fatto :

"

Ora vuoi dimostrare questo fatto: se $ X\subseteq S $ è un sottoinsieme, posso considerare \( \langle X\rangle \), la minima sotto-struttura di $ S $ contenente $ X $. Questo segue dal fatto che (come dice il tuo punto A) \( \langle X\rangle \) è esattamente l'intersezione
\[ \bigcap \{Z\mid Z\le S, \; X\subseteq Z\} \] (il motivo per cui questo vale sta nella forma delle equazioni che definiscono la varietà: le quantificazioni universali sono chiuse per intersezioni arbitrarie).

mi è chiara, escluso questo: le quantificazioni universali sono chiuse per intersezioni arbitrarie.

Cosa vuoi dire

[killing_buddha]

Vuol dire che la famiglia di insiemi che soddisfano una proprietà della forma \(\forall x:Px\) è stabile per intersezioni arbitrarie. Le proprietà che definiscono una operazione o una proprietà di una operazione sono di questa forma.

[galles90]

Perfetto grazie