Esercizio su parte stabile generata.

[galles90]

Buonasera, sto facendo qualche esercizio sulle parti stabile generate di algebra. Ma non riesco avvenirne a capo, vi riporto l'esercizio.

Siano \(\displaystyle a,b \in \mathbb{Z} \). Struttura algebrica \(\displaystyle (\mathbb{Z},+) \) determinare le parti stabili generate dal sigleton di \(\displaystyle \{a\} \) e da \(\displaystyle T=(a,b) \).

Soluzione

La parte stabile generata \(\displaystyle Y' \) è definita come :

\(\displaystyle Y'=\bigcap_{Y\in \Sigma}Y \)

quindi dovrei determinare l'intersezione degli insiemi \(\displaystyle Y \) tali che godono delle seguenti proprietà:

1) \(\displaystyle \{a\} \supseteq Y\)
2) \(\displaystyle Y \) deve essere stabile.


L'insieme \(\displaystyle Y \) deve essere stabile vale a dire, presi due elementi in \(\displaystyle Y \) anche il loro composto appartiene allo stesso.
Considerando che \(\displaystyle Y\subseteq \mathbb{Z} \), e in particolare \(\displaystyle a \in Y \), quindi il composto sara dalla forma \(\displaystyle a+b : b\in \mathbb{Z} \).
Da qui in poi non so procedere.

Ciao

[killing_buddha]

Il sottogruppo generato da $a$ consta dell'insieme \(\{ax\mid x\in\mathbb Z\}\), mentre il sottogruppo generato da \(\{a,b\}\) consta di \(\{ax+by\mid x,y\in\mathbb Z\}\). Cosa c'è di difficile?

Te lo dico io, che tu vuoi usare la definizione che ti viene dall'algebra universale. Ma è sciocco farlo, qui sai già cosa deve uscire. E soprattutto, la proprietà 3 non significa niente (definisce $\Sigma$ riferendosi ricorsivamente a $\Sigma$). Hai le idee inenarrabilmente confuse su cosa stia succedendo: ancor prima della capacità di fare questi esercizi, secondo me ti manca la capacità di capirecosa significano le definizione (e come si usino i simboli della logica del primo ordine); non faresti meglio a partire più indietro, dal punto in cui ti senti a tuo agio a parlare? E che senso ha studiare algebra universale se ti manca un grip sull'algebra elementare?

Per fare l'esercizio ti consiglio di partire dalla caratterizzazione esplicita di \(\langle a\rangle\) e \(\langle a,b\rangle\) e dimostrare che effettivamente ciascuno di questi coincide con \(\bigcap \{Y\mid \{a\}\subseteq Y \le \mathbb Z\}\) e \(\{W\mid \{a,b\}\subseteq W\le \mathbb Z\}\) rispettivamente.

[galles90]

Ciao,

si uso la definizione per provare ad eseguire questi tipo di esercizio, anche se le prove sono nulle.
Comunque rileggendo il messaggio precedente da me postato, ho visto l'errore che ho commesso, di cui ho cancellato, dato che l'ho ritengo un punto inutile per la risoluzione dell'esercizio inoltre ad essere errato.

Ora ritornando al problema, io ragiono cosi:
prendo incosiderazione l'insieme $ \bigcap \{Y: \{a\}\subseteq Y \le \mathbb Z\} $ detto in lingua italiana:
l'insieme ha per elementi gli insiemi \(\displaystyle Y \) i quali godono della seguente proprietà \(\displaystyle P= \{a\} \subseteq Y \le \mathbb{Z} \).

Sto andando bene ?

[killing_buddha]

Se ti è chiaro il motivo per cui c'è scritto \(\subseteq\) a sinistra e \(\le\) a destra, sì

[galles90]

Questa è una domanda che ti volevo fare


Con il segno di \(\displaystyle \le \) tra i due insiemi \(\displaystyle Y \) e \(\displaystyle \mathbb{Z} \) vuoi intendere la cardinalità tra i due insiemi, ovvero che l'insieme \(\displaystyle Y \) ha cardinalità minore o uguale a \(\displaystyle \mathbb{Z} \).

Invece per il simbolo \(\displaystyle \subseteq \) tra \(\displaystyle \{a\} \) e \(\displaystyle Y \) si sta dicendo che l'insieme \(\displaystyle Y \) contiene il singleton di \(\displaystyle \{a\} \).

Qual'ora la mia deduzione fosse corretta e osservando la posizione dei simboli:
segno \(\displaystyle \le \) precede \(\displaystyle \subseteq \) cioè al contrario, avremmo che l'insieme \(\displaystyle Y \) ha cardinalità maggiore o uguale a l'insieme\(\displaystyle \{a\} \) inoltre l'insieme \(\displaystyle \mathbb{Z} \) contiene l'insieme \(\displaystyle Y \).
Quindi la differenza c'è

[killing_buddha]

No, non è questo il significato; quando scrivo \(A\subseteq B\) $A$ è solo un sottoinsiemdi $B$. Quando scrivo \(A\le B\) invece $A$ è una sottostruttura di $B$. La "parte stabile" generata da un insieme è l'intersezione di tutte le sottostrutture dell'ambiente che contengono il sottoinsieme.

[galles90]

Buonasera,

riporto la definizione di parte stabile generata

$ \bigcap \{Y: \{a\}\subseteq Y \le \mathbb Z\} $

Quindi l'insieme \(\displaystyle Y \) deve contenere il singleton di \(\displaystyle \{a\}\) inoltre ad essere una "sottostruttura" di \(\displaystyle \mathbb{Z}\).

Ora in modo poco formale si avrebbe qualcosa di questo tipo:
\(\displaystyle Y\le \mathbb{Z}\) se e soltanto se \(\displaystyle a+a+.......+a=ax\) \(\displaystyle \forall ax \in A\) \(\displaystyle \forall a \in A\).

Valutando quello che mi hai detto in un post precedente:

insiemi che soddisfano una proprietà della forma \(\displaystyle ∀x:Px \) è stabile per intersezioni arbitrarie.

Ne segue che
\(\displaystyle \{a'\}= \bigcap \{Y: \{a\}\subseteq Y \le \mathbb Z\}= ax:x\in \mathbb{Z} \)

[killing_buddha]

Ora in modo poco formale si avrebbe qualcosa di questo tipo:
\(\displaystyle Y\le \mathbb{Z}\) se e soltanto se \(\displaystyle a+a+.......+a=ax\) \(\displaystyle \forall ax \in A\) \(\displaystyle \forall a \in A\).

Esamina attentamente questa scrittura: a posteriori, e' ovvio cosa stai cercando di dire, ma il risultato del dirlo in questo modo e' che non si capisce una fava.

Piuttosto,

Un sottoinsieme \(Y\subseteq\mathbb Z\) non vuoto e' un sottogruppo, ovvero \(\displaystyle Y\le \mathbb{Z}\), se e soltanto se \[\forall u \forall v\in Y : (u-v)\in Y \]

dove sto usando il teorema 2 qui, che caratterizza i sottogruppi come quei sottoinsiemi $H$ non vuoti tali che \(\forall a\forall b : ab^{-1}\in H\).

\(\displaystyle \{a'\}= \bigcap \{Y: \{a\}\subseteq Y \le \mathbb Z\}= ax:x\in \mathbb{Z} \)

A sinistra del primo segno di uguale c'e' scritto l'insieme il cui unico elemento e' $a'$ (qualsiasi cosa esso sia); non ha molto senso uguagliarlo a cio' che sta a destra dell'uguale (che ha un numero infinito di elementi). Questa seconda cosa e' uguagliata ad una proprieta', che per costituzione assume valori di verita', e anche questo e' privo di senso. Semmai, dovrai scrivere \(\{ax : x\in \mathbb Z\}\), invocando l'insieme degli elementi che soddisfano la proprieta' $P_a$ "essere della forma $ax$ per $x\in ZZ$".

Cio' che ti chiedevo di dimostrare e' esattamente l'uguaglianza tra \(\bigcap \{Y: \{a\}\subseteq Y \le \mathbb Z\}\) e \(\{ax : x\in \mathbb Z\}\). E (come sempre quando bisogna dimostrare che due insiemi sono uguali) questo si fa dimostrando che \(\bigcap \{Y: \{a\}\subseteq Y \le \mathbb Z\} \subseteq \{ax : x\in \mathbb Z\}\) e che \(\bigcap \{Y: \{a\}\subseteq Y \le \mathbb Z\} \supseteq \{ax : x\in \mathbb Z\}\). Riesci a farlo?

Come consiglio generale, sei a dir poco enormemente confuso su cosa significhino certi simboli matematici e su come si usino.

Fai un respiro profondo, e familiarizza con le definizioni principali di come si scrive una proprieta' che definisce un insieme: non c'e' nessuna speranza che tu capisca qualcosa, o abbia un minimo di profitto nello studio dell'algebra, se non sei padrone della sua semantica; specie se, come sembra, stai studiando algebra universale, e' necessario avere una conoscenza irreprensibile della forma che hanno gli enunciati di algebra astratta, dove forma e' inteso ne' piu' ne' meno che in senso kantiano come «ciò per cui il molteplice del fenomeno può essere ordinato».

[galles90]

ok, rivedrò un paio di cose e poi ne riparliamo, grazie per il momento.