Ah, ok, adesso capisco. Sono felice che uno studente di quarta liceo si interessi all'algebra da autodidatta.
Ti spiego cosa volevo dire col mio precedente intervento. Intanto ti ho chiesto che cosa stessi studiando per capire a che scopo stai facendo un esercizio, ai fini della comprensione di quale teoria, perché non è la stessa cosa se è teoria dei gruppi o teoria degli insiemi, ecco.
Presumo che l'esercizio, che tu ti sei divertito a modificare, tu l'abbia trovato in un libro di algebra da primo semestre universitario dove si parla della teoria dei gruppi (o a limite da un primo libro di algebra lineare dove si parla di spazi vettoriali, che in particolare sono gruppi abeliani)
Facciamo finta che vogliamo svolgere il "tema" da te proposto per intero e nel modo più completo possibile dando tutte le definizioni e motivando ogni passaggio. Ci serve la definizione di gruppo. Ha senso dire che "Un gruppo è un magma, un semigruppo e un monoide tale che..."? Poi dobbiamo scrivere anche cos'è un monoide, cos'è un semigruppo, cos'è un magma... quindi un'altra serie di definizioni che non ci sono mai servite e non ci serviranno mai nel nostro corso di Algebra 1, ancora meno nel nostro corso di Geometria 1 a ingegneria.
Ci servirà anche la definizione di omomorfismo, quindi di funzione... ci servirà una definizione rigorosa di funzione come sottoinsieme del prodotto cartesiano (definire) tra dominio (definire) e codominio (definire) come in un corso di Analisi, oppure ci basterà una descrizione del concetto di applicazione come legge che ad ogni elemento di un insieme A associa uno e un solo elemento di un insieme B, per poi passare veramente a ciò che ci interessa e cioè che cos'è che rende un'applicazione tra due gruppi un omomorfismo?
Normalità. $H<G$ normale in $G$ se e solo se $AA ginG, gHg^(-1)subeH$ Ahia, qua dobbiamo definire un sacco di roba. Dobbiamo dire che cosa significa $AsubeB$ per due insiemi $A$ e $B$, dobbiamo aver detto che l'inverso di ogni elemento $g$ è unico per poterlo definire come $g^(-1)$ e dobbiamo definire che insieme è $gHg^(-1)$
Potremmo anche dare altre definizioni di normalità, tipo quella che hai proposto tu: classi destre e classi sinistre coincidono. Dovrò aver definito classi destre e sinistre, e quindi cos'è una relazione di equivalenza, il teorema che su un insieme ho definito una relazione di equivalenza se e solo se ho una partizione dell'insieme (decomposizione in classi disgiunte (Che vuol dire?) la cui unione è tutto l'insieme). Tutto questo va benissimo, perché in Algebra sono importanti tutti questi risultati e queste definizioni. Altrimenti avrei potuto dire che $H$ è normale se e solo se è invariante per coniugio per elementi di $G$, ma dovrei dire che cos'è il coniugio. Mi serve? Forse più avanti mi servirà, quindi va bene.
Sottogruppo. Il sottogruppo di un gruppo $G$ eredita da $G$ la struttura di gruppo (OPPURE $H$ è un gruppo con l'operazione indotta da $G$.) Non può verificarsi, come ti hanno detto, che ci si riferisca a un oggetto come sottogruppo prendendo come operazione una diversa rispetto a quella di $G$. Essendo il nucleo un sottogruppo di $G$ è ridondante e astruso pensare di aver bisogno di specificare che la sua operazione, vista come sottoinsieme del prodotto cartesiano, si debba intersecare col prodotto cartesiano dei $(Ker)^3$. E' una contorsione mentale barocca senza alcuno scopo, non rende più efficace il discorso, non è elegante, non ci aiuta in nessun modo ad arrivare a quello che ci interessa nella dimostrazione.
E il tutto non risulta neanche rigoroso, perché, ti ripeto, se tu dovessi fare degli appunti di teoria dei gruppi su questo stile, per studiare 50 pagine di Algebra, ti ci vorrebbero 800 pagine di appunti dove usi trecento volte la parola "magma", per dire, e in nessuna di quelle 300 avere mai una struttura degna del nome di "magma" perché non ne ha uno più generale (cioè gruppo, gruppo abeliano, anello, campo ecc.)
E' come se tu dovessi fare un tema di filosofia sulla "Repubblica" di Platone e dicessi "La Repubblica è un'opera di Platone scritta in greco. L'alfabeto greco è un sistema di scrittura di 24 lettere, derivante dal fenicio, il quale derivava da geroglifici egizi... ecc. ecc." Sarebbe tutto molto giusto e istruttivo, ma prima di arrivare a dire qual è il succo della Repubblica per lo scopo per cui la stai studiando, e cioè il valore filosofico, ti ci vuole un secolo e avresti esaurito tutto il tempo a disposizione.
E' vero anche che sei in quarta liceo, quindi di tempo ne hai ancora molto prima di arrivare a confrontarti con l'algebra dell'università.
Comunque ammiro molto la tua verve e la passione che ci metti, mi è piaciuto il topic perché non è l'ennesima richiesta di aiuto ma si è sviluppata una discussione interessante, come dovrebbe accadere in un forum. Continua a studiare e se vuoi leggere un testo di algebra carino ti consiglio, se riesci a trovarlo "Algebretta" di Benedetto Scimemi. E' molto breve e fatto benissimo, ti farà capire cose utili.
Un saluto.
