Dimostrazione normalità di $\text{ker} f$

[Indrjo Dedej]

Esercizio. Siano $(X,\ast_X)$ e $(Y,\ast_Y)$ due gruppi e sia $f : X \mapsto Y$ un omomorfismo. Dimostrare che $(\text{ker}f,\ast)$ è un sottogruppo normale di $(X,\ast_X)$, dove $\ast:=\ast_X \cap (\text{ker}f)^3$.

Ok, sul fatto che $(\text{ker}f,\ast)$ sia un magma ci sono, così come sul fatto che è anche sottogruppo. Mi interessa la normalità. Per dimostrare che questo sottogruppo è normale devo far vedere che \[\forall x \in X : x \ast_X \text{ker}f=\text{ker}f \ast_X x .\] Per definizione per ogni $z \in X$ si ha $z \in x \ast_X \text{ker}f$ se e solo se esiste almeno un $h \in \text{ker}f$ per cui $z=x \ast_X h$. D'altronde, essendo $(X,\ast_X)$ un gruppo, \[z=x \ast_X h = ((x \ast_X h)\ast_X x')\ast_X x.\] Ma $(x \ast_X h)\ast_X x' \in \text{ker}f$: infatti, essendo $f$ un omomorfismo, \[f((x \ast_X h)\ast_X x')=...=\underbrace{(f(x)\ast_Yf(h))\ast_Y f(x')=...=f(x) \ast_Y f(x')}_{h \in \text{ker}f, \text{ quindi }f(h)=1_Y}=...=1_Y .\] Ho provato quindi che esiste almeno un $g \in \text{ker}f$ per cui $z = g \ast_X x$, ovvero $z \in \text{ker}f \ast_X x$.
In maniera analoga riesco a provare che $\text{ker}f \ast_X x \subseteq x \ast_X \text{ker}f$. Per l'assioma di estensionalità, la normalità che volevo provare.

Va bene? Vi prego anche di controllare la notazione.

Grazie.

[killing_buddha]

Per quanto ti appaia paradossale, essere così formale ti allontana dalla pratica matematica come la intendono i matematici. Il problema è che di matematica vera tu non ne hai ancora vista, quindi ti manca una qualche forma di confronto tra le immagini mentali che ti crei e l'idioletto che possiedono i matematici "professionisti", o chi, con qualche anno più di te, sta studiando per diventarlo. Questo comporta che è difficile farti capire cosa intendo con "la dimostrazione va bene, ma non è scritta in un modo che un matematico reputa convenzionale"; per esempio, nessuno si sogna di iniziare la dimostrazione che \(\ker f\) è un sottogruppo normale di un gruppo con

Prima di tutto è un magma.

Questo è vero anche nella misura in cui l'operazione di gruppo tra elementi del sottogruppo ricade nel sottogruppo pressoché "ad occhio" dato che se $f(x)=1=f(y)$ allora $f(xy)=f(x)f(y)=1$. E l'esercizio deve darti questa scioltezza, questa non-chalance.

Io capisco perché fai così, e dimostra se non altro la tua vocazione al pensiero astratto, ma la prospettiva in cui ti costringi ad essere sovra-formale deve diventare quella di abbandonare il più in fretta possibile questo stile comunicativo; facendo matematica, non lo troverai da nessuna parte.

[Indrjo Dedej]

Per quanto ti appaia paradossale, essere così formale ti allontana dalla pratica matematica come la intendono i matematici.

Sai, me ne sono accorto. È questo che intendo quando dico che non so cosa può uscire da me.

Il problema è che di matematica vera tu non ne hai ancora vista, quindi ti manca una qualche forma di confronto tra le immagini mentali che ti crei e l'idioletto che possiedono i matematici "professionisti", o chi, con qualche anno più di te, sta studiando per diventarlo.

Infatti io la matematica vera non l'ho ancora vista, così come mi mancano dei riferimenti. Per questo scrivo qui per confronto.
È un teorema molto basilare questo e me ne rendo conto. Uno lo avrebbe svolto ad occhi chiusi. Ma il vero esercizio che faccio è di smontare e rimontare la teoria, vedere cosa c'è dentro e poi ci do del mio, la "esplodo", perché io punto al pensiero, ai "meccanismi" - meccanismi è un parola che non mi piace, ma questa mi viene - interni. Alla fine per un esercizio viene fuori questa summa.

la dimostrazione va bene, ma non è scritta in un modo che un matematico reputa convenzionale

Questo mi fa capire che forse io non sto facendo matematica, o quantomeno la stia facendo ma non in maniera convenzionale. Vabbé, ho tempo per farmi male...

Oltre all'attacco non convenzionale, cosa non va? Quale sarebbe il sovra-formalismo?

Grazie

[anto_zoolander]

Visto che ormai siamo un trio mi unisco.

@killing
A me una dimostrazione formale(il più formale per me possibile) provoca in un certo senso ‘pace interiore’.
Penso che la cosa abbia a che fare con il pensiero di aver incastonato una serie di ingranaggi che funzionano alla perfezione.
Aldilà di questo è una cosa che si riversa in ogni ambito della vita di una persona, come la continua ricerca di simmetrie.
Non te ne uscire con la solita frase: ‘menatela su altro’, sai benissimo che non sia un evento così raro.

[killing_buddha]

Ti rispondo in due modi diversi, a due aspetti diversi della questione.

Esercizio. Siano $(X,\ast_X)$ e $(Y,\ast_Y)$ due gruppi e sia $f : X \mapsto Y$ un omomorfismo. Dimostrare che $(\text{ker}f,\ast)$ è un sottogruppo normale di $(X,\ast_X)$, dove $\ast:=\ast_X \cap (\text{ker}f)^3$.

Per definizione per ogni $z \in X$ si ha $z \in x \ast_X \text{ker}f$ se e solo se esiste almeno un $h \in \text{ker}f$ per cui $z=x \ast_X h$.

Del resto, tale $h$ è unico, perché?

D'altronde, essendo $(X,\ast_X)$,

Questa incidentale è sospesa: essendo $(X,\ast_X)$... cosa?

\[z=x \ast_X h = ((x \ast_X h)\ast_X x')\ast_X x.\]

Qui è solo perché ho chiaro cosa stai facendo, che capisco che $x'=x^{-1}$.




Ora, uso queste lievi sbavature per farti capire cosa intendo: chiamo sovra-formalismo la cura idiosincratica per aspetti come "indicare sempre rispetto a quale insieme sto considerando la struttura", "specificare che un gruppo è anzitutto un magma", "denotare una funzione $A\to B$ invariabilmente come un opportuno sottoinsieme di $A\times B$", "invocare l'assioma di estensionalità"... appaiata con l'aver lasciato un periodo in sospeso, e con il non aver denotato in maniera usuale l'inverso di un elemento in un monoide.

Le cose, brevemente, stanno così:

1. Non c'è niente di impietoso nella mia critica, sono anzi positivamente stupito tu sia così rapido ad imparare. Solo, un albero cresce bene grazie a un saggio equilibrio di potature, innesti e sfrondamenti. Il sovra-formalismo è un ramo che succhia energie che puoi proficuamente investire altrove.In breve, fai così per una inesperienza che è assai perdonabile, e devi prendere questi consigli come "ciò che si dice a chi è già bravo per conto suo, per continuare a tenerlo sulle corde". Continua così, va quasi tutto bene, ma questa cura eccessiva per il dettaglio, in un momento del tuo apprendimento in cui hai soprattutto bisogno di idee, più che di formalismo, ti dà un'idea sproporzionata di ciò che sono i rapporti di forza nei vari aspetti della mentalità matematica.
2. La matematica deve essere formale, e secondo me deve esserlo molto, ma non scadere nell'aridità di una dimostrazione automatizzata. E non perché disprezzi la matematica formalizzata o meccnaizzata. Anzi; sono un convinto fautore della creazione di proof-assistant sempre più strutturati, flessibili e potenti. Ma perché (di nuovo in breve) la matematica è vasta e non tutta è fatta allo stesso modo. Ci sono àmbiti di essa che non hanno bisogno, o sensibilità, per questo tipo di astrazione. Se vorrai incontrare altri matematici, devi tenere a mente che c'è persino gente a cui fare le dimostrazioni non interessa (o che ha un'idea estremamente ingenua di cosa significhi dimostrare un asserto). E poi ci sono gli ingegneri, certo, ma non infieriamo su chi già soffre per conto suo.
3. Perciò, se tu sei uno di quelli che specifica l'assioma di estensionalità ogni volta che vi fa ricorso, sei in buona compagnia, ho conosciuto altri come te, io sono stato in parte come te, e certamente troverai altri come te. Sai che cos'è il $\lambda$-calcolo? Sai cos'è la programmazione funzionale? Sono due cose che puoi studiare oggi, adesso, praticamente senza aprire libro, e avendo una prospettiva condensata, moderna, efficace e secondo me molto fertile di ciò che è la "matematica formalizzata". soprattutto, la programmazione funzionale è deliziosa da imparare per una persona che ha una vena strutturalista (come sospetto tu sia / spero tu diventi).

[killing_buddha]

Visto che ormai siamo un trio mi unisco.

@killing
A me una dimostrazione formale(il più formale per me possibile) provoca in un certo senso ‘pace interiore’.
Penso che la cosa abbia a che fare con il pensiero di aver incastonato una serie di ingranaggi che funzionano alla perfezione.
Aldilà di questo è una cosa che si riversa in ogni ambito della vita di una persona, come la continua ricerca di simmetrie.
Non te ne uscire con la solita frase: ‘menatela su altro’, sai benissimo che non sia un evento così raro.

Io sono un difensore di un approccio strutturale alla matematica, ma non sono un formalista. Qual è la differenza tra i due approcci? Sostanzialmente che nella prima ottica c'è un livello (quello che oscura la struttura e l'interconnessione tra gli enti che si studiano) che è "troppo" formale.

Più che sulla loro definizione scevra da qualsiasi ambiguità e libera da qualsiasi riferimento a congiunture umane, il focus ermeneutico di uno strutturalista è sulla natura relazionale degli oggetti in gioco. Lo strutturalismo è lo studio della cogenza dietro le cose, portato avanti nella convinzione che la loro comprensione si realizzi meglio se quelle cose sono studiate non "per sé stesse" ma connesse con tutti gli altri oggetti da relazioni meta-linguistiche. Se ci pensi attentamente, ti renderai conto che questo approccio è ortogonale-complementare allo studio dei fondamenti: da un lato, "come definire" le cose; dall'altro, "ciò che le cose sono" a prescindere da come le hai definite.

In questa prospettiva "la domanda" diventa qualcosa del genere:

va bene, $\ker f$ è un sottogruppo normale, ma cosa significa normale? Qual è il motivo profondo per cui ho bisogno di richiedere che un sottogruppo sia normale [dal fondo: "perché questo dà all'insieme delle classi laterali \(G/H\)
una struttura di gruppo!"] ma siamo davvero sicuri che il motivo sia quello? Probabilmente ne esiste uno di più profondo; probabilmente si può ragionare in maniera simile in un'altra struttura algebrica?

[Indrjo Dedej]

Questa incidentale è sospesa: essendo $(X,∗_X)$... cosa?

Mi sono scordato un pezzo. Ho corretto.

Uso $x'$ al posto di $x^{-1}$ per comodità nella scrittura spesso su un tablet.

Del resto, tale $h$ è unico, perché?

Sia anche $j \in \text{ker}f$ tale che $z= x \ast_X j$. Quindi $x \ast_X h=x \ast_X j$, da cui per la legge di cancellazione, $h=j$. Vuoi confermare le tue ipotesi, eh?

Le cose, brevemente, stanno così:

1. Non c'è niente di impietoso nella mia critica, sono anzi positivamente stupito tu sia così rapido ad imparare. Solo, un albero cresce bene grazie a un saggio equilibrio di potature, innesti e sfrondamenti. Il sovra-formalismo è un ramo che succhia energie che puoi proficuamente investire altrove.In breve, fai così per una inesperienza che è assai perdonabile, e devi prendere questi consigli come "ciò che si dice a chi è già bravo per conto suo, per continuare a tenerlo sulle corde". Continua così, va quasi tutto bene, ma questa cura eccessiva per il dettaglio, in un momento del tuo apprendimento in cui hai soprattutto bisogno di idee, più che di formalismo, ti dà un'idea sproporzionata di ciò che sono i rapporti di forza nei vari aspetti della mentalità matematica.
2. La matematica deve essere formale, e secondo me deve esserlo molto, ma non scadere nell'aridità di una dimostrazione automatizzata. E non perché disprezzi la matematica formalizzata o meccnaizzata. Anzi; sono un convinto fautore della creazione di proof-assistant sempre più strutturati, flessibili e potenti. Ma perché (di nuovo in breve) la matematica è vasta e non tutta è fatta allo stesso modo. Ci sono àmbiti di essa che non hanno bisogno, o sensibilità, per questo tipo di astrazione. Se vorrai incontrare altri matematici, devi tenere a mente che c'è persino gente a cui fare le dimostrazioni non interessa (o che ha un'idea estremamente ingenua di cosa significhi dimostrare un asserto). E poi ci sono gli ingegneri, certo, ma non infieriamo su chi già soffre per conto suo.
3. Perciò, se tu sei uno di quelli che specifica l'assioma di estensionalità ogni volta che vi fa ricorso, sei in buona compagnia, ho conosciuto altri come te, io sono stato in parte come te, e certamente troverai altri come te. Sai che cos'è il λ-calcolo? Sai cos'è la programmazione funzionale? Sono due cose che puoi studiare oggi, adesso, praticamente senza aprire libro, e avendo una prospettiva condensata, moderna, efficace e secondo me molto fertile di ciò che è la "matematica formalizzata". soprattutto, la programmazione funzionale è deliziosa da imparare per una persona che ha una vena strutturalista (come sospetto tu sia / spero tu diventi).

Purtroppo sono cresciuto con gli Elementi sotto il cuscino - metaforicamente - con la sua critica e sono fortissimamente interessato alla logica e alla teoria degli insiemi. E purtroppo sono sensibile agli aspetti assiomatici, definitori e dimostrativi. Vuoi vedere come faccio le cose di analisi? Logica pura, e qualcuno impallidirà a questa affermazione. Secondo te io non ho capito perché un post come questo
viewtopic.php?f=36&t=167806
non ha avuto risposte? Due anni fa ero agli inizi e più inesperto... Senza contare i miei post recenti in questa sezione... L'ho capito che è troppo. Volevo una conferma ed è venuta.

Non non so cosa sia il $\lambda$-calcolo e la programmazione funzionale. Vedrò.

[killing_buddha]

Purtroppo sono cresciuto con gli Elementi sotto il cuscino - metaforicamente - con la sua critica e sono fortissimamente interessato alla logica e alla teoria degli insiemi. E purtroppo sono sensibile agli aspetti assiomatici, definitori e dimostrativi.

L'interesse per queste cose non e' ne' un handicap ne' una colpa; solo, io penso che la propensione per i fondamenti si nutra di informazioni su cio' che vuoi fondare. Solitamente un logico "tocca" matematica che e' "di costituzione elementare", e ignora la topologia algebrica, l'algebra omologica, la teoria della rappresentazione, la geometria dei numeri.. cosi' come le implementazioni dei suoi modelli. Questo limita il tuo apprendimento perche' parli in maniera sempre piu' approfondita di un parco di concetti sempre piu' esiguo, fino al paradosso di chi "sa un sacco di cose su sempre meno cose, finche' non sa tutto di nulla".

Tutto questo, al netto della consapevolezza che non c'e' un logico, ma che la disciplina si fonda su diversi pilastri, e ha diverse declinazioni molto diverse tra loro anche in seno a se' stessa. A me interessa molto l'aspetto dei fondamenti (problemi come: la metateoria che fa da ambiente per ZF e' consistente?), ma allo stesso tempo mi interessano molto dei problemi "concreti"[1], mi interessano molto alcuni aspetti della combinatoria, alcuni aspetti strutturali dell'analisi, alcune applicazioni della teoria delle categorie ai fondamenti della fisica teorica, e incidentalmente la filosofia della matematica. Ma non quella fatta da Benacerraf e da Badiou: loro non sapevano, o non volevano, calcolare l'hessiana di una curva di grado 6. Questa loro incapacita', il loro disinteresse per mettere le mani nelle interiora della cosa che interessa fondare, li invalida ai miei occhi, per lo stesso motivo per cui sto proponendo il mio pensiero a te.



[1] tipo questo o questo: il fatto che non esista e non possa esistere una formula chiusa per la coomologia di un prodotto di cerchi e' una sfida all'ermeneutica, ed e' una deficienza cogente ed ineliminabile della nostra comprensione degli oggetti matematici; soprattutto perche' sfida con domande tipo "cosa e' davvero la combinatoria" che un logico immerso nell'ennesimo tentativo di re-implementare l'aritmetica di Peano non si fara' mai.

[otta96]

va bene, $\ker f$ è un sottogruppo normale, ma cosa significa normale? Qual è il motivo profondo per cui ho bisogno di richiedere che un sottogruppo sia normale [dal fondo: "perché questo dà all'insieme delle classi laterali \(G/H\) una struttura di gruppo!"] ma siamo davvero sicuri che il motivo sia quello?

Cavolo, io avrei detto di sì, anche perché mi pare che si possa dimostrare che l'operazione sul quoziente della relazione definita dal gruppo sia ben definita se E SOLO SE il sottogruppo è normale, ma se dici così mi viene da pensare che in effetti un motivo più profondo ci sia, e a questo punto sono curioso di sapere qual è.

Probabilmente ne esiste uno di più profondo ; probabilmente si può ragionare in maniera simile in un'altra struttura algebrica?

In quanto alle analogie con altre strutture algebriche c'era un'osservazione che avevo fatto al tempo quando studiavo teoria dei gruppi (avevo già fatto teoria degli anelli), che forse non c'entra nulla con quello a cui pensavi te ma mi farebbe piacere sapere cosa ne pensi.
L'osservazione che avevo fatto è che c'è una sorta di analogia tra le sottostrutture nei due ambienti (anelli e gruppi) ovvero sotto molti aspetti i sottoanelli per gli anelli sono come i sottogruppi per i gruppi, e questo non è troppo sorprendente anche dal nome se vogliamo, ma avevo notato anche una certa somiglianza tra gli ideali e i sottogruppi normali, anche se l'analogia non funziona tanto bene se si passa a confrontare sottogruppi con sottogruppi normali a sottoanelli con ideali, infatti nel primo caso i secondi sono dei casi particolari dei primi, mentre nel secondo caso sono quasi inesistenti gli oggetti che siano sia sottoanelli che ideali, direi solo tutto l'anello se lo si considera un ideale come si fa di solito, oppure ${0}$ se per anello non si intende unitario.

[Indrjo Dedej]

Solitamente un logico "tocca" matematica che e' "di costituzione elementare", e ignora la topologia algebrica, l'algebra omologica, la teoria della rappresentazione, la geometria dei numeri.. cosi' come le implementazioni dei suoi modelli. Questo limita il tuo apprendimento perche' parli in maniera sempre piu' approfondita di un parco di concetti sempre piu' esiguo

Avevo bisogno di sentire anche questo. Grazie mille.