Criteri di divisibilità

[niccoset]

Di seguito indico con la notazione $a -= _n b $ il fatto che $ a mod n = b mod n $.
Gli esercizi in questione sono i seguenti:
1) Siano a e b interi positivi. Dimostrare che $a -= _n b $ sse $S(a) -= _n S(b) $, dove $S(a)$ denota la somma delle cifre di a (in base 10)
2) Dimostare che un numero intero $d$ è divisibile per 11 sse $ sum_(i_(dispari))d_i = sum_(j_(pari))d_j $

Scrivo qui sotto la mia soluzione; vi chiedo dirmi se ci sono eventuali errori e/o correzioni da svolgere, grazie.

Es 1
È facile far vedere che $ 10 -=_9 1 $.
Per le proprietà delle operazioni modulo $n$ si ha che
$ 10^2=10*10-=_9 1*1=1 rArr 10^2-=_9 1 $
$ 10^3=10^2*10-=_9 1*1=1 rArr 10^3-=_9 1 $
Quindi si può dedurre (congetturare) che $ 10^n-=_9 1, AA n>=0 $
Sia $ a = (a_k,...,a_0)_10 $ con $ 0<=a_k<=9, AA k $ allora
$ a = (a_k,...,a_0)_10 =a_k*10^k+...+a_0*10^0-=_9 a_k+...+a_0 $ che è quello che volevamo dimostrare.

Es 2
Faccio vedere che
$ 10^0 -=_11 1 $
$ 10^1 -=_11 -1 $
$ 10^2 -=_11 1$
$ 10^3 -=_11 -1 $
Quindi deduco che per $n$ pari si ha $ 10^n-=_11 1 $ e per $n$ dispari si ha $ 10^n-=_11 -1 $. Ora, dato che un numero $d$ è divisibile per $11$ sse $ d-=_11 0 $ scrivo $d$ come ho fatto sopra per il numero $a$ e arrivo a dimostrare che d è divisibile per $11$ sse la somma dei termini sugli indici pari coincide con la somma dei termini sugli indici dispari

[Gary_Baldi]

L'affermazione contenuta nell'esercizio 1 è falsa. Forse hai capito o copiato male il testo? Prendi ad esempio $n=10$, $a=17$, $b=7$.
Tu hai dimostrato un'altra cosa, infatti. Hai dimostrato che un numero $a$ modulo 9 è congruo alla somma delle sue cifre decimali (e questo è vero, infatti il criterio di divisibilità per 9 dice proprio che un numero è divisibile per 9 (alias: congruo a zero modulo 9) se e solo se la somma delle sue cifre è congrua a zero modulo 9.

[niccoset]

Ho copiato male il testo . Per il resto ho già risolto, grazie per la risposta.