Equazione delle classi di $S_n$ e $D_n$

[Gary_Baldi]

Salve a tutti, sto tentando di fare un ripasso di algebra e mi sono un po' impelagato in un paio di esercizi che chiedono di verificare l'equazione delle classi per il gruppo simmetrico $S_4$ e per il diedrale $D_n$.

Gruppo simmetrico.
So che due permutazioni sono coniugate se e solo se hanno la stessa struttura ciclica, perciò in $S_n$ avrò cinque classi coniugate, $(e)$, la classe delle trasposizioni, la classe dei 3-cicli, la classe dei 4-cicli e la classe delle doppie trasposizioni disgiunte (2+2 cicli).
Determino l'ordine del centralizzatore $Z(sigma)$ per ogni $sigma$ rappresentante di ciascuna di queste classi.
$Z(e)=S_n$
$Z(12)$ comprende le permutazioni di $S_4$ della forma $(12)tau$ con $tau$ permutazione che lasci fissi $1$ e $2$. In totale ho 4 permutazioni di questo tipo: $e,(12), (34), (12)(34)$, dunque $o(Z(12))=4$.
$Z(123)$ comprende le 3 potenze di $(123)$, $(123),(132),e$ e questo può confermarmelo anche il calcolo del numero dei 3-cicli, che so essere il numero dei coniugati di (123) e cioè l'indice di $Z(123)$ in $S_n$. I 3-cicli risultano essere 8, quindi $o(Z(123))=24/8=3)$
$Z(12)(34)$ comprende tutti gli elementi del gruppo di Klein, ovviamente, che è abeliano. Più $(12)$ e $(34)$. Totale 6 elementi.
$Z(1234)$ comprende le potenze di $(1234)$, quindi 4 elementi.
Scrivendo l'equazione delle classi così come le ho elencate, ottengo
$o(S_n)=24/24+24/4+24/3+24/6+24/4=1+6+8+4+6=25$,
Ci deve essere ovviamente un errore perché deve venire 24 e non 25, e poi non ho capito come la classe di $(12)(34)$
possa avere 4 elementi dato che so che due perm. sono coniugate se e solo se hanno la stessa struttura ciclica.

Diedrale.
La faccio breve e discorsiva: il coniugio conserva l'ordine degli elementi, quindi manderà rotazioni in rotazioni e simmetrie in simmetrie.
$D_n=<{r,s|o(r)=n, o(s)=2}.$
Devo distinguere i casi n pari o n dispari.
Se n è dispari
Il centralizzante di $r$ sono le rotazioni, ha ordine n
il centralizzante di s è ${s,e}$, ha ordine 2.
quindi la classe di coniugio di $r$ comprende due elementi,$r$ e $r^(n-1)$. La classe di $s$ avrà $n$ elementi... e poi boh.

Se n è pari
il centralizzante di s è ${s,e,sr^(n/2), r^(n/2)s}...$ ecc. non continuo perché è come prima: mi perdo e non riesco ad arrivare all'eq delle classi, anche se mi sembra di essere sulla strada giusta.

Magari rileggendo il topic o chiudendo il pc e ripensandoci mi rendo conto delle cavolate che ho scritto
Grazie se qualcuno vorrà essermi d'aiuto.

[Martino]

Ciao

$Z(12)(34)$ comprende tutti gli elementi del gruppo di Klein, ovviamente, che è abeliano. Più $(12)$ e $(34)$. Totale 6 elementi.

Questo è falso, pensaci meglio.

Il centralizzante di $r$ sono le rotazioni, ha ordine n
il centralizzante di s è ${s,e}$, ha ordine 2.
quindi la classe di coniugio di $r$ comprende due elementi,$r$ e $r^(n-1)$. La classe di $s$ avrà $n$ elementi... e poi boh.

Perché "boh"? Hai l'identità che ha 1 coniugato, gli elementi di $<r>$ diversi da $1$ che hanno due coniugati e gli elementi fuori da $<r>$ che formano un'unica classe con $n$ elementi (come hai detto), adesso ti resta solo da verificare che la somma del numero di tali coniugati è $2n$ (cioè l'equazione delle classi).

[Gary_Baldi]

Ciao

$Z(12)(34)$ comprende tutti gli elementi del gruppo di Klein, ovviamente, che è abeliano. Più $(12)$ e $(34)$. Totale 6 elementi.

Questo è falso, pensaci meglio.

Il centralizzante di $r$ sono le rotazioni, ha ordine n
il centralizzante di s è ${s,e}$, ha ordine 2.
quindi la classe di coniugio di $r$ comprende due elementi,$r$ e $r^(n-1)$. La classe di $s$ avrà $n$ elementi... e poi boh.

Perché "boh"? Hai l'identità che ha 1 coniugato, gli elementi di $<r>$ diversi da $1$ che hanno due coniugati e gli elementi fuori da $<r>$ che formano un'unica classe con $n$ elementi (come hai detto), adesso ti resta solo da verificare che la somma del numero di tali coniugati è $2n$ (cioè l'equazione delle classi).

La classe di $(12)(34)$ contiene 3 elementi, questo è giusto? Due permutazioni sono coniugate se e solo se hanno la stessa struttura ciclica. Quindi $Z((12)(34))$ dovrà avere $ 24/3=8 $ elementi, ne mancano due all'appello xD. Ho contato quelle del sgr di Klein, più due trasposizioni... potrei andare per metodi brutali ma non mi va. Idee non me ne vengono.

Sul Diedrale mi rincuora essere sulla strada giusta e ho capito dove sbagliavo... Se $n$ è dispari, le classi di rotazioni sono $(n-1)/2$ e tutte con due elementi, mentre nel caso $n$ pari avrò una rotazione "single", che sarà quella che coincide con la propria inversa. Il che mi sembra un filo controintuitivo, nel senso che era più stupidamente logico pensare che nel caso "pari" avessi tutte rotazioni accoppiate, mentre nel caso dispari avessi una che resta fuori e poi tutte le altre accoppiate, invece è proprio il contrario!

[Gary_Baldi]

ah, altra piccola cosa, nel diedrale, nel caso n pari, ho che le coppie di rotazioni coniugate sono $(n-2)/2$, la classe di s comprende $n/2$ elementi, perché il centralizzante $Z(s)$ ha 4 elementi... poi ho, ovviamente, l'identità che fa classe a sé (1 elemento). La classe di $r^(n/2)$ chi sarà? Con lei commutano tutte le rotazioni e tutte le simmetrie, se non sbaglio, perciò la sua classe dovrà avere cardinalità 1. Ma a quanto pare non ho tutti gli elementi perché $1+1+(n-2)/2+n/2$ dovrebbe fare $n+1$.
Dove sbaglio?

[Martino]

Se $n$ è pari ci sono due elementi nel centro (cioè con un solo coniugato), i due che hai detto. Ogni rotazione che non è una di queste ha due coniugati. Ci sono $n-2$ tali rotazioni e quindi ci sono $(n-2)/2$ classi di rotazioni non centrali (ognuna contiene due elementi). Per quanto riguarda le riflessioni, ogni riflessione ha $n/2$ coniugati e siccome ci sono $n$ riflessioni deduci che ci sono esattamente due classi di riflessioni. L'equazione delle classi quindi è

$1+1+2(n-2)/2+n/2+n/2 = 2n$.

[Gary_Baldi]

Grazie infinite, ora ho capito il Diedrale.
Però continuo a non capire quali sono tutti gli elementi di Z((12)(34))

[Martino]

Penso che ti sei dimenticato di quegli elementi di ordine $4$ il cui quadrato è uguale a $(12)(34)$, cioè i 4-cicli in fondo alla lista:

$1$
$(12)(34)$
$(13)(24)$
$(14)(23)$
$(12)$
$(34)$
$(1324)$
$(1423)$

[Gary_Baldi]

sì, mi ero dimenticato proprio loro. Preliminarmente a questi esercizi avevo dimostrato alcuni teoremi (che cito nei post) e calcolato centralizzante di una trasposizione in $S_n$ o il centralizzante di un n-ciclo di $S_n$, ad esempio.
Per trovare il centralizzante di $(12)(34)$ ho proceduto a tentoni, ricordandomi del sottogruppo di Klein e notando che sicuramente le due trasposizioni $(12)$ e $(34)$ ci stavano dentro e non riesco a pensare a una via per dimostrarlo se non metodi un po' brutali tipo l'aver già esaminato tutti gli elementi di $S_4$ e andando per esclusione. (edit: avrei potuto notare che ci sono 4-cicli che moltiplicati per se stessi si spezzano in due trasposizioni disgiunte le quali poi, come prevedibile moltiplicate di nuovo al quadrato mi daranno l'identità, avendo ordine 2. (e so che il 4-ciclo ha ordine 4)...)
Mi sembra però più semplice capire l'indice di $Z((12)(34))$ in $S_4$ che è 3 (avendo mostrato che due permutazioni sono coniugate se e solo se hanno la stessa struttura ciclica, e poi dall'indice dedurre l'ordine del centralizzante.
Cioè, fra trovare il centralizzante di $(12)(34)$ in $S_n$ e trovare la sua classe di coniugio, è più semplice determinare la seconda, che avrà $(( ( n ),( 2 ) ) ( ( n-2 ),( 2 ) )) /2$ elementi e l'ordine del centralizzante lo calcolo come ordine del gruppo fratto ordine della classe, ovvero: $(n!)/((( ( n ),( 2 ) ) ( ( n-2 ),( 2 ) )) /2)$.

Comunque grazie dei consigli, Martino.