Verificare se la seguente funzione è iniettiva o suriettiva

[Apex_HK]

La funzione è la seguente:

$ f: (X,Y) \in P(S) \times P(S) \rightarrow X \Delta Y \in P(S) $

Credo che l'iniettività non sia verificata per le coppie $ (\emptyset , X) e (X, \emptyset) $ che pur essendo diverse hanno comunque la stessa immagine. $ \emptyset \Delta X = X \Delta \emptyset = X $

Per la suriettività non saprei come procedere...

P.S Con il simbolo $ \Delta $ mi riferisco all'unione disgiunta (o differenza simmetrica) tra insiemi

[Martino]

Unione disgiunta o differenza simmetrica? (Non è la stessa cosa)

Vuoi dire $X triangle Y in P(S)$ vero? (non $P(S) xx P(S)$)

Che mi dici di $X triangle emptyset$ ?

[Apex_HK]

Intanto ti ringrazio per aver risposto.

L'operazione è la differenza simmetrica e il codominio dell'operazione, come hai suggerito, deve essere P(S): avrò sicuramente sbagliato a copiare la traccia.

Per quanto riguarda $ X \Delta \emptyset $ direi che fa X

$ X \Delta \emptyset = (X \setminus \emptyset) U (\emptyset \setminus X) $ da cui $ X U \emptyset = X $

[killing_buddha]

Le coppie sono "diverse" ma la differenza simmetrica è commutativa, quindi questo modo di confutarne l'iniettività è un po' barare; la mancanza di iniettività è molto più eclatante se noti che \(A\triangle A = \varnothing\) chiunque sia $A$... e la funzione è chiaramente suriettiva: \(A\triangle \varnothing = A\).

[Apex_HK]

Le coppie sono "diverse" ma la differenza simmetrica è commutativa, quindi questo modo di confutarne l'iniettività è un po' barare; la mancanza di iniettività è molto più eclatante se noti che \(A\triangle A = \varnothing\) chiunque sia $A$... e la funzione è chiaramente suriettiva: \(A\triangle \varnothing = A\).

Giusto! Non ci avevo pensato, unico appunto: la funzione è definita per coppie, quindi sarebbe giusto considerare due coppie $ (A,A) (B,B) \in P(S) \times P(S) $ da cui dedurre che pur essendo diverse hanno la stessa immagine (l'insieme vuoto). Grazie mille per l'aiuto

[killing_buddha]

$(A,B)$ e $(B,A)$ sono coppie ordinate diverse, ma in un certo senso sono "la stessa coppia" di elementi. A voler essere stretti, quindi, nessuna operazione binaria commutativa è iniettiva; tuttavia è molto più eclatante fare come ti ho detto

[Apex_HK]

Perfetto, ho trovato un ulteriore elemento di discrimine che mi aiuti a confutare l'iniettività quando mi trovo "alle strette".

[Apex_HK]

Approfitto per chiedervi se ho svolto bene l'esercizio in allegato (sono dubbioso sul fatto di poter utilizzare o meno la differenza insiemistica \)

[killing_buddha]

Prova a dimostrare che la mappa naturale \(A\to A\cup\{1\}\) è iniettiva per ogni insieme $A$ se e solo se per ogni funzione \(f : A\to B\) si ha che \(f\cup\{1\} = g\cup\{1\} : A\cup\{1\}\to B\cup\{1\}\) implica $f=g$. Questo è vero, ed è sufficiente a dimostrare l'iniettività.