Usare gli elementi in algebra omologica

Messaggioda Gi. » 14/04/2018, 16:00

Sto studiando algebra omologica e sono all'inizio.
Il libro che sto leggendo, seguendo una prassi abbastanza comune, cita l'embedding di Freyd-Mitchell e poi fondamentalmente sviluppa tutto come se fossimo sempre in qualche categoria di moduli.
D'altra parte su math(stackexchange/Overflow) ho trovato varie discussioni (posso anche linkarle) in cui pareri più o meno autorevoli sminuiscono l'importanza (pratica) dell'embedding, facendo intuire che si può (e sarebbe meglio!) fare tutto senza elementi. Che si possa fare tutto anche senza elementi, cioè che esista sempre anche una dimostrazione che non li usa, viene spesso sottolineato anche nei testi che usano Frey-Mitchell senza farsi problemi.
Io studiando, non tanto convinto da queste argomentazioni ma solo perchè mi fa meno fatica, cerco sempre una dimostrazione senza diagram chasing, che usi solo freccette e non elementi, ma non sempre riesco.
Analizzando le situazioni in cui non riesco mi accorgo che spesso si tratta di casi in cui se mi trovassi in R-Mod lifterei un elemento lungo una suriezione . Questa cosa in una categoria abeliana non concreta mi sembra si possa fare con abbastanza oggetti proiettivi. Ma embeddare la categoria (o anche solo il diagramma) in una qualche categoria con abbastanza proiettivi mi sembra poco meno che usare direttamente Freyd-Mitchell, se non la stessa cosa.
Altro caso: mostrare che due morfismi sono uguali (e qui viene in mente https://ncatlab.org/nlab/show/separator , ma non è detto che ci siano in ogni categoria abeliana, e in più non risolvono sempre il problema).
Per esempio conosco una facile dimostrazione di snake lemma che non fa uso di diagram chasing, tuttavia in casi in cui devo dimostrare che un certo morfismo prescritto è in realtà il connecting morfism che uscirebbe fuori da snake lemma mi tocca sempre usare la dimostrazione che usa gli elementi per andare a vedere come il morfismo è definito.
Non so se mi sono spiegato bene, comunque le mie domande sono più o meno due:
-Come mai la gente dice che Freyd-Mitchell non serve a nulla? E' una mia incapacità non riuscire a farne sempre a meno? Ha davvero senso sforzarsi di farne a meno se è più difficile?
- Il Leitmotiv che dice "qualunque cosa valga in una qualsiasi categoria abeliana può essere dimostrato senza gli elementi", che sembra quasi una specie di teorema di completezza, ha un fondamento tecnico?
In altre parole: usare Freyd-Mitchell rende alcune cose facili, rende alcune cose possibili, o nessuna delle due?
PS: so che c'è una via di mezzo https://ncatlab.org/nlab/show/element+i ... n+category , ma spesso non risolve.
Quando ho le idee in testa un po' più chiare posto la domanda su mathstackexchange, per ora scrivo qua questo flusso di coscienza.
Gi.
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Re: Usare gli elementi in algebra omologica

Messaggioda killing_buddha » 15/04/2018, 15:11

Nella dimostrazione di FM è parzialmente contenuta la risposta alla tua domanda; io la interpreto circa così: qualsiasi diagramma tu consideri, l'inviluppo abeliano di quel diagramma in \(\cal A\) sarà una categoria abeliana, Cauchy-completa e piccola, quindi accessibile; ciò significa che è concreta, e che puoi pensare ai suoi oggetti come insiemi e ai suoi morfismi come particolari funzioni tra i carrier.

In buona sostanza il punto è che una categoria abeliana, non concreta, senza abbastanza proiettivi è un oggetto strano e patologico. Semmai ne trovassi uno, scopriresti di averlo dovuto costruire quasi apposta per soddisfare queste richieste, più che perché ti si è parato davanti "naturalmente".

Come ben saprai poi, "tutte" le categorie che ammettono un generatore si possono pensare come localizzazioni riflessive di categorie di moduli sull'l'anello degli endomorfismi del generatore (questo le rende concrete su $R$-Mod).

Se hai domande più precise, chiedi pure (per esempio, non mi è chiaro in che termini e in che contesto qualcuno dica che FM è "inutile").
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Re: Usare gli elementi in algebra omologica

Messaggioda killing_buddha » 16/04/2018, 20:17

Analizzando le situazioni in cui non riesco mi accorgo che spesso si tratta di casi in cui se mi trovassi in R-Mod lifterei un elemento lungo una suriezione

In tutte le categorie che si possono embeddare in $R$-Mod per qualche $R$ (sono tante, per Gabriel-Popescu), hai sempre un sistema di fattorizzazione Proiettivi-Epimorfismi.
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Re: Usare gli elementi in algebra omologica

Messaggioda Gi. » 17/04/2018, 22:44

Ciao Killing (ti ho inviato un messaggio)
Chi poteva rispondermi se non uno che ha in firma due citazioni di Freyd?
Riguardo a questo
per esempio, non mi è chiaro in che termini e in che contesto qualcuno dica che FM è "inutile"

leggi qui il commento ad esempio di bcnrd , che se compri le vocali diventa un matematico che un po' di algebra la conosce: https://mathoverflow.net/questions/3217 ... eorem?rq=1
Altri esempi in commenti qui: https://mathoverflow.net/questions/1281 ... ng-theorem
Qui https://math.stackexchange.com/question ... ng-theorem nel penultimo paragrafo si legge: "dubito che esista un risultato che necessiti realmente di FM per essere dimostrato" , e il paragrafo successivo è interessante e parla anche di quello che scrivevi anche te nella tua risposta
tutte" le categorie che ammettono un generatore si possono pensare come localizzazioni riflessive di categorie di moduli sull'l'anello degli endomorfismi del generatore (questo le rende concrete su R-Mod)

Leggendo queste opinioni sembra che FM venga usato solo per motivi psicologici, mentre si può fare tutto con la teoria degli elementi generalizzati o direttamente anche senza. A me invece sembra piuttosto che gli elementi generallizati siano più un aiuto psicologico, mentre non riesco a convincermi che di FM "si possa sempre fare a meno". Però è ovvio che questo vale finchè si considerano categorie abeliane qualsiasi, strane a piacere.
In buona sostanza il punto è che una categoria abeliana, non concreta, senza abbastanza proiettivi è un oggetto strano e patologico. Semmai ne trovassi uno, scopriresti di averlo dovuto costruire quasi apposta per soddisfare queste richieste, più che perché ti si è parato davanti "naturalmente"

Secondo me la risposta alla mia sega mentale potrebbe invece essere qua, cioè chi dice che di FM se ne può fare a meno, lo dice perchè nella pratica si lavora con categorie abbastanza belle, dove hai tutta una serie di cose in più ( abbastanza proiettivi etc.. ) che ti permettono sostanzialmente di fare tutto quello che ti pare.
Gi.
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Re: Usare gli elementi in algebra omologica

Messaggioda killing_buddha » 18/04/2018, 08:18

Se ci fai caso, viene citata la natura "locale" del teorema di embedding: questo significa grosso modo quel che ti ho detto, per applicarlo è necessario avere una categoria abeliana piccola, e quindi è necessario ridursi a qualcosa come quello che ho scritto: l'"inviluppo abeliano" generato da un diagramma \(\mathcal D\) in \(\bf A\).

Poi, il fatto che le persone che lavorano in matematica, e non in teoria delle categorie (bcnrd è un bravo matematico, ma non è un categorista), non sentano il bisogno di usare il teorema di Freyd-Mitchell non mi stupisce: la matematica studia strutture "piccole", dove le ipotesi di Freyd-Mitchell sono praticamente ipotesi vuote (molte categorie sono piccole, quelle che non lo sono sono comunque \(\alpha\)-accessibili... per analogia, pensa al fatto che \(\bf Top\) non è una categoria accessibile, e quindi la pratica matematica avviene in sue sottocategorie selezionate).

In sintesi, FM ha un contenuto squisitamente set-theoretico, di cui non ci si può liberare se non appellandosi a generalizzazioni come il https://en.wikipedia.org/wiki/Gabriel%E ... cu_theorem teorema di Gabriel-Popescu, ma ci sono situazioni in cui è utile:

1. se prendi una categoria triangolata, puoi immergerla in una categoria abeliana in maniera abbastanza canonica con una costruzione simile all'embedding di Yoneda (più precisamente, devi prendere la categoria dei funtori additivi \(\mathcal T\to \bf Ab\)); questa categoria è abeliana, ma è molto grande e molto difficile da studiare. Dei risultati che ne embeddino una fetta in \(R\)-Mod sono interessanti.
2. Il teorema di Gabriel-Popescu vale per categorie triangolate compattamente generate, per categorie modello stabili (dove a "categoria di moduli su un anello" va però sostituito "categoria dei moduli su un ring spectrum"), e per tante altre classi di categorie (tra poco, quando sarò su arXiv con una cosa, sarò più preciso).

Infine, una nota a margine: \(n\)Lab afferma che esistono categorie abeliane non-concrete. Mi viene difficile pensare ad un esempio di tale categoria...
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Re: Usare gli elementi in algebra omologica

Messaggioda otta96 » 19/04/2018, 21:09

killing_buddha ha scritto:la matematica studia strutture "piccole", dove le ipotesi di Freyd-Mitchell sono praticamente ipotesi vuote (molte categorie sono piccole, quelle che non lo sono sono comunque \(\alpha\)-accessibili... per analogia, pensa al fatto che \(\bf Top\) non è una categoria accessibile, e quindi la pratica matematica avviene in sue sottocategorie selezionate).

Davvero? Uno in matematica non studia cose come la categoria degli spazi topologici o dei gruppi abeliani (intendo uno che fa topologia/teoria dei gruppi)?

Gi. ha scritto:bcnrd , che se compri le vocali diventa un matematico che un po' di algebra la conosce

Chi sarebbe? Ci ho pensato ma non mi è venuto in mente...
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Re: Usare gli elementi in algebra omologica

Messaggioda killing_buddha » 19/04/2018, 23:14

Uno in matematica non studia cose come la categoria degli spazi topologici o dei gruppi abeliani (intendo uno che fa topologia/teoria dei gruppi)?

Esiste la categoria degli spazi topologici; ma poi esiste un sottobosco immenso di sue sottocategorie che realizzano assiomi aggiuntivi (le proprietà di separazione, la generazione della topologia mediante altra struttura, come nel caso degli spazi metrici o normati, oppure il fatto che gli spazi si ottengono a partire da elementi semplici per "incollamenti" successivi -pensa ai complessi cellulari o alle varietà topologiche). Questi raffinamenti sono molto piu importanti e comuni della categoria degli spazi topologici-e-basta, che è patologica praticamente sotto ogni aspetto.
Per quanto riguarda la categoria dei gruppi abeliani, essa è finitamente accessibile (e in effetti di più, è \(\aleph_0\)-presentabile -potrei linkare qualche riferimento ma immagino tu sappia googlare :-) se la definizione ti è oscura, non temere, lo è per tutti all'inizio; se ti interessa ne parliamo).

E... è Brian Conrad.
Ultima modifica di killing_buddha il 19/04/2018, 23:23, modificato 1 volta in totale.
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Re: Usare gli elementi in algebra omologica

Messaggioda otta96 » 19/04/2018, 23:18

killing_buddha ha scritto:categoria degli spazi topologici-e-basta, che è patologica praticamente sotto ogni aspetto.

È quello il bello!
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Re: Usare gli elementi in algebra omologica

Messaggioda killing_buddha » 19/04/2018, 23:25

otta96 ha scritto:
killing_buddha ha scritto:categoria degli spazi topologici-e-basta, che è patologica praticamente sotto ogni aspetto.

È quello il bello!

Sono parzialmente d'accordo, nel senso che capisco cosa intendi :-) googla "Borsuk shape theory" e avrai pane per i tuoi denti.
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Re: Usare gli elementi in algebra omologica

Messaggioda Gi. » 21/04/2018, 02:04

Se ci fai caso, viene citata la natura "locale" del teorema di embedding: questo significa grosso modo quel che ti ho detto, per applicarlo è necessario avere una categoria abeliana piccola, e quindi è necessario ridursi a qualcosa come quello che ho scritto: l'"inviluppo abeliano" generato da un diagramma D in A.

Infatti avevo letto che, a livello operativo, non è che la questione della grandezza sia un grosso ostacolo, perchè si può sempre aggirare il problema nel modo che hai detto te. Ma a prescindere da questo il fatto che tu dica
Poi, il fatto che le persone che lavorano in matematica [...] non sentano il bisogno di usare il teorema di Freyd-Mitchell non mi stupisce: la matematica studia strutture "piccole", dove le ipotesi di Freyd-Mitchell sono praticamente ipotesi vuote (molte categorie sono piccole, quelle che non lo sono sono comunque α-accessibili

non dovrebbe essere un motivo in più per usare Freyd-Mitchell? Se a maggior ragione mi trovo in categorie piccole, che soddisfano le ipotesi! Semmai quello che avevo pensato io, è che chi fa matematica lavora in categorie con delle proprietà in più, oltre al fatto di essere abeliane, e sono quelle che ti evitano la necessità di FM.
Infine, una nota a margine: nLab afferma che esistono categorie abeliane non-concrete. Mi viene difficile pensare ad un esempio di tale categoria...

eh, mi sto rendendo conto che la mia intuizione su cosa sia o meno concreto è scarsa..
Gi.
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