$ZZ_n$ campo,integro

[anto_zoolander]

Un esercizio, penso anche abbastanza classico, chiede di trovare una condizione necessaria e sufficiente affinché Zn sia integro e poi affinché sia campo.

Chiaramente Zn è finito quindi se ∃m∈N:Zm integro allora Zm è campo.
Viceversa se è campo, banalmente è integro.

La condizione mi pare essere n primo e si avrebbe:

Zp con p primo ⇔Zp integro ⇔Zp campo


1) se Zp con p primo allora Zp integro
Questo è facile perché se x¯y¯=0¯ allora p∣xy quindi divide almeno uno dei due, fine.

2) se Zp è integro allora p è primo
Supponiamo che n∣p con n≠0,p allora ∃q∈Z:p=nq ma allora 0¯=p¯=nq¯
Essendo n¯≠0¯ si ha q¯=0¯ da cui p∣q⇒∃k∈Z:pk=q

Quindi p=npk⇒p(nk−1)=0 ma Z è integro quindi k=n=1 e q=p e si conclude

Poi segue:
Chi sono gli ideali primi di Z?

Notiamo che J ideale allora J≤Z ma Z è ciclico quindi J è ciclico pertanto J=<m>=mZ pertanto Z intanto è anello ad ideali principali.

Ora una un ideale J è primo se e solo se RJ è integro
Questo si traduce in mZ primo se e solo se Z/mZ:=Zm è integro.

Quindi posso concludere che pZ è primo se e solo se p è primo ovvero che tutti e soli gli ideali primi di Z sono quelli del tipo pZ con p primo.

A tel proposito per concludere aggiungo la dimostrazione del fatto precedente.
R anello e J ideale, J primo ⇔R/J integro

NB: qui si era staccata la connessione e mi ha fatto riprendere le cose scritte in questo modo, le lascio così altrimenti tiro tutto in aria! Da qui in poi continuo in LaTeX

$J$ primo allora considerato $R/J={x+J:x inR}$
Se $(x+J)*(y+J)=J=>xy inJ$ ma $J$ è primo dunque $x inJ$ o $y inJ$ da cui $x+J=J$ o $y+J=J$

Se $R/J$ è integro allora $(x+J)(y+J)=J=>x inJvee y inJ$ in entrambi i casi almeno una delle due classi è $J$

Penso sia tutto corretto.